选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 所以当n?k?1时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证法2：当n?3时
012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1
n综上所述，当n?1,2时Tn?5n5nTn?2n?1，当n?3时2n?1
31.（2009四川卷文）设数列（I）求数列
a?5Sn?1成立，?an?的前n项和为Sn，
对任意的正整数n，都有n记
bn?4?an(n?N*)1?an。
?an?与数列?bn?的通项公式；
?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，
Tn?32；
（II）设数列
请说明理由；
（III）记
cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有
*解（I）当n?1时，又
a1?5S1?1,?a1??14
?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1
an?11??an4
11q??4，公比为4的等比数列，
?an?1?an?5an?1,即∴数列
?an?是首项为
a1??14?(?)n4(n?N*)bn?11an?(?)n1?(?)n4，4∴ ?????????????3分
（II）不存在正整数k，使得
Rn?4k成立。
14?(?)n54?4?bn?n1n(?4)?11?(?)4证明：由（I）知
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 21
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ?bb5552015?16k?402k?1?2k?8?(?4)2k?1?1?(?4)2k?1?8?16k?1?16k?4?8?(16k?1)(16k?4)?8.
∴当n为偶数时，设
n?2m(m?N?) ∴
Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n
当n为奇数时，设
n?2m?1(m?N?) ∴
Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k
∴不存在正整数k，使得
Rn?4k成立。 ?????????????8分
b5n?4?（III）由
(?4)n?1得
c5515?16n15?16n15?16n15n?b2n?1?b2n?42n?1?42n?1?1?(16n?1)(16n?4)?(16n)2?3?16n?4?(16n)2?16nb1?3,b132?3,?c42?3， T3当n?1时，
1?2，
当n?2时，
1[1?(1)n?2T4?25?(11142]n?162?3???n)?3?25?1631616161?1161?41626933?25???1?148216
32.（2009湖南卷文）对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N*，恒有
un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列
{un}为B?数列.
?1（Ⅰ）首项为1，公比为2的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设
Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断：
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
又
22
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列
{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列
{a2n}也是B-数列。 a1: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为n,则n?(?)n?1解{a}2.于是
a1131n?an?1?(?2)n?1?(?2)n?2?2?(2)n?2,n?2.
|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|
3??1121n-1?1n?=2??1?2?（2）???（2）??3??1?（=??2）???3. ?1所以首项为1，公比为2的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列
{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题.
事实上设xn=1，n?N*，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n，
|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n.
由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。
命题2：若数列
{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N*，有
|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M,
即
|xn?1|?|xn|???|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1
?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1,
所以数列
{xn}是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
(Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的
n?N?,有 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 23
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
an?1?an?an?an?1???a2?a1?M.
因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1
?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1. 记K?M?a1a22，则有
n?1?an?(an?1?an)(an?1?an)
?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.
a222?a222因此
n?1?an?ann?1?...?a2?a1?2KM.
2故数列
?an?是B-数列.
x1＝133. (2009陕西卷理) 已知数列
?xn}满足，
2x＝1n＋1?x,n?N*’1n.
???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
|x12n?1-xn|≤()n?1（Ⅱ)证明：65。
x1125131?证明（1）由
2及xn+1?1?x得x2?3?x4?8，x4?n21
由
x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
x2k?x2k?2
1?3?x2k?1易知
x2k?0x2k?2?xx2k2k?4?，那么
1?x?1?2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)
x2k?x2k?2=(1?x?02k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)
即
x2(k?1)?x2(k?1)?2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
x（2）当n=1时，
n?1?xn?x2?x1?16，结论成立
?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?1当n?20时，易知
1?x?1n?12
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
24
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?1?xn?12
?xn?1?xn?xn?xn?111??1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)
2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x155512n-1?（） 65 ?an35.（2009天津卷理）已知等差数列{
}的公差为d（d?0），等比数列{
?bn}的公比为q（q>1）sabab。设n=11+22…..+
anbn若
n?1
Tabab)n1122,=-+…..+(-1
anbn,n?N
a1=b1= 1，d=2，q=3，求 S3 的值；
2dq(1?q2n)2?bST1?q12n2n若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n?N；
(Ⅲ) 若正数n满足2?n?q，设
k1,.k..,2,,..k.,n和1.12..2llc?ak1b1?ak2b2?...?aknbnln是，，，n的两个不同的排列，
1，
c2?al1b1?al2b2?...?alnbnc1?c2 证明
。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能
力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。
n?1*a?2n?1,b?3,n?Nnn（Ⅰ）解：由题设，可得
所以，
S3?a1b1?a2b2?a3b3?1?1?3?3?5?9?55
n?1b?q（Ⅱ）证明：由题设可得n则
S2n?a1?a2q?a3q2?.....?a2nq2n?1, ①
T2n?a1?a2q?a3q2?a4q3?.....?a2nq2n?1,S2n?T2n?2(a2q?a4q3?...?a2nq2n?1)式减去②式，得
式加上②式，得
2S?T?2(a?aq?....?a2n2n13?n2
2n?21
②
q ③
)式两边同乘q，得
3q(S?T)?2(aq?aq?....??a2n2n13n2
2n?11
q)25
选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
高中数列知识大总结（绝对全）
