所以an?a?n?1，又a?N?f(a?f(a)（n为奇数）n)???f(a?1)（n为偶数）所以f(a1)?f(a2)???f(a10)?5f(a)?5f(a?1)
?5?f(0)?f(1)??5f(1)又f(?1)f(?1?2)?f(1)所以?f(1)?f(1)即f(1)?0故原式=0，选C。 二、填空题 ５．设等比数列
?an?的公比与前n项和分别为q和
Sq≠1，S，则S20n，且10?81?q10?8
方法一、a1(1?q10)1?2?8?S201?q10?a1(1?q20)(1?q10）(1?q)?8方法二、S20?S10?a11?a12???a20
?S1010?qS10?S10(1?q10)所以S201?q10?S10?8 6．数列
?an?满足an?12nn?1?n?2???n?1， 又b2n?，则数列
?abn?的前n项和为
8nnan?1n?1 解：an?1n?1(1?2???n)?n2 b?28naa?n(n?1)= 8(11n?n?1） nn?1所以b1?b?8?12???b11n111??(1?2)?(2?3)???(?n?n?1)??8?1??1??8n?n?1???n?1数列1，1，1，1，1，1，1，1，1，1223334444，?的前100项13914。（n?N?） 11
７．的和为选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 典例精析
一、 函数与数列的综合问题
例1：已知f(x)?logax(a?0且a?1)，设f(a1)，f(a2)，?，f(an)(n?N?) 是首项为4，公差为2的等差数列。①设a是常数，求证： ②若bn?an?成等差数列；
?anf(an)，?bn?的前n项和是Sn，当a?2时，求Sn
解：①f(an)?4?(n?1)?2?2n?2，
即logaan?2n?2，所以an?a2n?2ana2n?2 所以?2n?a2(n?2)为定值
an?1a所以?an?为等比数列。 ②bn?anf(an)
?a2n?2logaa2n?2?(2n?2)a2n?2当a?2时，bn?(2n?2)?(2)2n?2?(n?1)?2n?2Sn?2?23?3?24?4?25???(n?1)?2n?22Sn?2?24?3?25???n?2n?2?(n?1)?2n?3点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 两式相减得?Sn?2?23?24?25???2n?2?(n?1)?2n?324(1?2n?1)?16??(n?1)?2n?31?2所以Sn?n?2n?3征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。 １． 已知正项数列
①求证：数列
?an?的前n项和为Sn，?an?是等差数列；
1Sn是与(an?1)2的等比中项，
4 ②若bn?an，数列?bn?的前n项和为Tn，求Tn n2 ③在②的条件下，是否存在常数?，使得数列??Tn??? ?为等比数列？若存在，试求出?；若不存在，说明理由。
?an?2?解：①
1Sn是与(an?1)2的等比中项，
4选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 1(an?1)241当n?1时，a1?(a1?1)2，?a1?141当n?2时，S?(an?1?1)2 n?14所以an?Sn?Sn?1所以Sn?122(an?an?1?2an?2an?1)4即(an?an?1)(an?an?1?2)?0?
因为an?0，所以an?an?1?2?0即：an?an?1?2
所以数列
?an?是等差数列。
2n?3 n2 ②Tn?3?
Tn??2n?31 ?(3???)?an?22n?32n3??1?n
2n?32 ?所以当且仅当3+?=0，即?=－3时，数列
?Tn?????为等比数列。 ?an?2?２． 已知在正项数列
?an?中，a1=2，且
22在双曲线y?x?1上， An(an，an?1）数列
?bn?中，
点（bn，Tn）在直线y??等比数列。③若Cn1x?1上，其中Tn是数列?bn?的前n项和，①求数列?an?的通项公式；②求证：数列?bn?是2?an?bn，求证：Cn?1?Cn。
22在y?x?1上知， an，an?1）解：①由已知带点An(
an?1－an＝１，所以数列?an?是以2为首项，以1为公差的等差数列。
?a1?(n?1)d?n?1
1x?1上， 2所以an②因为点（bn,Tn）在直线y??选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 13
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 1所以Tn??bn?121所以Tn?1??bn?1?1 2两式相减得：11bn?Tn?Tn?1??bn?bn?1221所以bn?bn?1，312令n?1得b1??b1?1，所以b1?232 所以?bn?是一个以为首项，31以为公比的等比数列。3212所以bn??()n?1?n333 ③Cn?an?bn?(n?1)?2 n3所以Cn?1?Cn?(n?2)?
23n?1?(n?1)23n
?23n?1?(?2n?1)?0所以Cn?1?Cn一、选择题
2n{a}a?0,n?1,2,?a?a?2(n?3)1.（2009广东卷理）已知等比数列n满足n，且52n?5，则当n?1时，
log??lo2gan??2a1?log2a3?21
222n(2n?1)(n?1)(n?1)nA. B. C. D.
a?a?【解析】由5n222nn2na?0log2a1?log2a3????? a?2a?2?2(n?3)5得n，n，则n，
log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，选C.
答案 C
S9S6SaSS2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n}的前n 项和为n ，若 3=3 ，则 6 =
78A. 2 B. 3 C. 3 D.3
S6(1?q3)S3?SS3【解析】设公比为q ,则3＝1＋q3＝3 ? q3＝2
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 于是【答案】B
S91?q3?q61?2?47???S61?q31?23
?an?,当an为偶数时，an?1??2?3an?1,当an为奇数时。a＝1an?a1＝m??14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若6，则m所有
可能的取值为__________。
答案 4 5 32
a1amam解析 （1）若a1?m为偶数，则2为偶, 故2?2 a3?22?4 ma?m??????amm①当4仍为偶数时，486?32?1?m 故32?32
3mm?14a?3为奇数时，4?3a3?1m?1??????a②当46?44 34m?1?1故4得m=4。
a3m?1（2）若
a1?m为奇数，则a2?3a1?1?3m?1为偶数，故
3?2必为偶数
??????a3m?13m?16?16，所以16=1可得m=5
16.（2009陕西卷文）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an? 解析:由
a6?s3?12可得?an?的公差d=2,首项a1=2,故易得an?2n.
答案:2n
?alimS17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为Sn?n?n,若a6?S3?12,则n??n2 解析：??a6?12?a1?5d?12?a1?2Sn?1Snn??s?????Sn?1)?n??lim?lim1n?n(?13?12?a1?d?12?d?2n2nn??n2n??n
答案：1
22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{aaa1n?1n}中，
1?1,n?1?(1?n)an?2n 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
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高中数列知识大总结(绝对全)
