第三讲 基本不等式
1.[2020河南驻马店模拟]设0 ??+??2 ( ) B.a<√????< D.√???? ??+??2 ??+??2 ??+??2 ( ) 2.[改编题]下列结论正确的个数为 ①函数y=x+的最小值是2; ??1 ②函数f (x)=cos x+ 4 cos?? ,x∈(0,)的最小值为4; 2 ?? π ③“x>0且y>0”是“??+??≥2”的充要条件; ④若a>0,则a3+2的最小值为2√??; ??⑤不等式a2+b2≥2ab与A.0 B.1 C.2 D.3 3.[2019天津,13,5分][文]设x>0,y>0,x+2y=4,则 (??+1)(2??+1) ???? ??+??2 1 ?? ≥√????有相同的成立条件. 的最小值为 . 4.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 . 5.[2015山东,14,5分][文]定义运算“⊕”:x⊕y=小值为 . ??2 - ??2???? (x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊕y+(2y)⊕x的最 考法1 用利基本不等式求最值 命题角度1 利用拼凑法求最值 1[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+??+??+?? - ??的最小值为 A. 3√102 4 1 B.4 C.2√3 D.3√2 观察式子的结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值 因为a=2[(a+b)+(a - b)], 1 所以a+??+??+?? - ??=2(a+b)+??+??+2(a - b)+?? - ??. ........................................................ (变形凑成积为定值) 因为a>b>0, 所以a+b>0,a - b>0. 由基本不等式可得2(a+b)+??+??≥2√2(??+??)×??+??=2√2 ①,当且仅当2(a+b)=??+??,即a+b=2√2时,等号成立; 1 1 4 1 4 1 4 411411 (a - b)+?? - ??≥2√2(?? - ??)×?? - ??=√2 ②, 2 当且仅当2(a - b)=?? - ??,即a - b=√2时,等号成立. ??=2,??+??=2√2,由{解得{ .......................................................................... (检验等号成立的条件) 2√?? - ??=√2,??=2.??=, 2 所以当{时,①②中的等号同时成立. √2??=2故a+??+??+?? - ??的最小值为2√2+√2=3√2. D 命题角度2 利用常数代换法求最值 4 13√23√21 1 111 2若直线2mx - ny - 2=0(m>0,n>0)过点(1, - 2),则+的最小值为 ?? ?? 12 A.2 B.6 C.12 D.3+2√2 把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值 因为直线2mx - ny - 2=0(m>0,n>0)过点(1, - 2), 所以2m+2n - 2=0,即m+n=1, 所以??+??=(??+??)(m+n)=3+??+当且仅当??= 1 2?? 2???? 1 2 1 2 ?? 2???? ≥3+2√2, ........................................................... (运用“1”的代换求解) ,即n=√2m时取等号, 所以??+??的最小值为3+2√2. D 命题角度3 利用消元法求最值 3[2019辽宁五校联考]已知正实数a,b满足ab - b+1=0,则+4b的最小值是 . ?? 1 先将已知等式变形,可得a= 求出最值即可. ?? - 1?? ,然后对??+4b=?? - 1+4b进行合理拼凑,再利用基本不等式 1?? 由ab - b+1=0可得a=所以+4b= ??11 ?? ?? - 1?? ,由a= ?? - 1?? >0且b>0得b>1, ?? - 1 +4b= 1 ?? - 1 +4(b - 1)+5. 1 1 3 1 1 易知?? - 1+4(b - 1)≥4,所以??+4b≥9,当且仅当?? - 1=4(b - 1),即b=2,a=3时等号成立,故??+4b的最小值是9. 1.(1)[2018天津,13,5分][文]已知a,b∈R,且a - 3b+6=0,则2a+8??的最小值 为 . (2)[2017 山东,12,5分][文]若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 . ?? ???? ?? 1 考法2 利用基本不等式解决实际问题 4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满 ?? 足x=3 - ??+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 题中信息 对接方法 年销售量、 由题中信息确定k值,进而明确两者关系. 年促销费用 销售价格、成本 销售价格、成本用年销售量x与年促销费用m表示,构建关于m的关系式. 利润最大 利用基本不等式求解. (1)由题意可知,当m=0时,x=1, ∴1=3 - k,解得k=2,即x=3 - ??+1,...................................................................................... (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5×∴2019年的利润y=x(1.5×=4+8x - m =4+8(3 - ??+1) - m =28 - ??+1 - m(m≥0). ∴y与m之间的函数关系式是y=28 - ??+1 - m(m≥0). (2)由(1)知y= - [??+1+(m+1)]+29(m≥0). ∵当m≥0时,??+1+(m+1)≥2√??+1·(??+1)=8, ................................................... (利用基本不等式求最值) 当且仅当??+1=m+1,即m=3时取等号,∴y≤ - 8+29=21, 16 16 16 16 16 16 2 8+16???? 8+16???? 2 (万元), ) - (8+16x+m) ........................................... (建模,利润=总收入 - 总投入) 即当m=3时,y取得最大值,为21. ∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元. 2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的任务, 每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x名,他们加工完甲型装置所需时间为t1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2时,设f (x)=t1+t2. (1)求f (x)的解析式,并写出其定义域; (2)当x等于多少时, f (x)取得最小值? 易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错 5[2017天津,13,5分][文]若a,b∈R,ab>0,则因为ab>0, 所以 ??4+4??4+12√4??4??4+1 ???? ??4+4??4+1 ???? 的最小值为 . ≥ ???? = 4??2??2+1???? ??2=2??2, =4ab+????≥2√4????·????=4,当且仅当{时等号成立,(连续使1 ????=2 1 1 用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致) 故 ??4+4??4+1 ???? 的最小值是4. 易错警示 当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法. 3.[2019安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+ 1(??+??)2 的最小值为 . 1.B 因为0 ??+??2 ??+??2 = ?? - ??2 >0,所以b> ??+??2 ; >√????.综上所述,a<√????< ??+??2 2.A 当x<0时,y≤ - 2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f(x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式??+??≥2也成立,故③错误;2√??不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而A. 3. 92 ??+??2 ?? ?? ≥√????只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选 解法一 =2+5 由题意知 52 92 x=4 - 2y,则 (??+1)(2??+1) ???? = (4 - 2??+1)(2??+1) (4 - 2??)?? = - 4??2+8??+5 - 2??2+4?? - 2??2+4?? =2+5 - 2(?? - 1)2+2 ≥2+=,当y=1时,“=”成立. 2????+??+2??+1 ???? 解法二 由题意知 (??+1)(2??+1) ???? == 2????+5???? =2+,因为x >0,y >0,所以4=x+2y≥2√2????,即 ????52 92 5 xy≤2,当且仅当x=2y=2时取“=”,所以4.30 一年购买 600?? (??+1)(2??+1) ???? ≥2+=. 600?? 次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4( 900?? +x)≥8√ 900?? ·??=240,当且仅 当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. 5.√2 因为x>0,y>0,所以x?y+(2y)?x= ??2 - ??2???? + 4??2 - ??22???? = ??2+2??22???? =2(??+??)≥√2,当且仅当??=??,即 1??2????2?? x=√2y时取等号.故x?y+(2y)?x的最小值为√2.
2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第七章第三讲 基本不等式
