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函数的概念与表示
知识领航
1．函数的定义
一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f(x):A?B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y?f(x),x?A. 注意：函数概念中的关键词
(1) A，B是非空数集.
(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.
2. 函数的定义域、值域
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域. 3. 函数的三要素
定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念
设a,b是两个实数，而且a?b.我们规定：
（1）满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]. （2）满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b).
（3）满足不等式a?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)，(a,b]. 这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数R可以用区间表示为(??,??).“?”读作“无穷大”， “??”读作“负无穷大”，“??”读作“正无穷大”，我们可以把满足x?a，x?a，x?b，x?b，的实数x的集合分别表示为[a,??)，
(a,??)，(??,b]，(??,b).
6. 函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7. 求函数的解析式的方法
（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知f(g(x))的解析式,求f(x).
1（3）消元法: 适用于同时含有f(x)和f()，或f(x)和f(?x).
x
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8. 分段函数
在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数. 9. 映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应，那么就称对应f(x):A?B为从集合A到集合B的一个映射。
注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
e线聚焦
【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).
A B C D
解：答案为B. 因为B中存在x，使得有两个y与之对应.
【例2】已知函数f(x)?x?3?1x?2.
(1)求函数的定义域. （2）求f(?3),f(6)的值.
(3）当a?0时，求f(a),f(a?1)的值.
解：（1）使得x?3 有意义的实数x的集合是{x|x??3}， 使得
1x?2有意义的实数x的集合是{x|x??2}， 所以，这个函数的定义域就是{x|x??3且x??2} （2）f(3)??3?3?1?3?2??1
f(6)?6?3?1256?2?8 （3）因为a?0，所以f(a)，f(a?1)有意义， f(a)?a?3?1a?2 -可编辑修改-
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11 ?a?2?a?1?2a?1【例3】已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x?1)的定义域.
13?x?解：由题意知，0?2x?1?2，所以 22
13 所以f(2x?1)的定义域为 {x|?x?}22【例4】求下列函数的值域.
f(a?1)?a?1?3?（1）y?x?1
（2）y?x2?4x?6,x?[1,5]
x（3） y?x?3（4）y?x?2x?1 解：（1）因为x?0，所以x?1?1，
所以y?x?1的值域为[1,?). （观察法） （2）配方，得y?(x?2)2?2 又x?[1,5]，所以2?y?11，
所以y?x2?4x?6,x?[1,5]的值域为[2,11]. （配方法）
xx?3?33（3） y???1?x?3x?3x?3
3?0，所以y?1 x?3x所以 y ? 的值域为{y|y?1}. （分离常数法）
x?31?u2（4）设u?2x?1，则u?0且 x?2
1?u21? u所以 y ? 即 y?(u?1)222
1??所以y?x?2x?1的值域为 [ , ] . （换元法） 2
因为
【例4】下列函数中哪个与函数y?x相等( )
x2A.y?(x) B.y?x C.y?x D.y?
x2332解：函数y?x的定义域为R，对应法则为y?x.
22A中y?(x)的定义域为[0,??)，所以y?(x)与y?x不是同一个函数；
B中y?3x3的定义域为R，且y?3x3?x；y?3x3与y?x的定义域和对应法则都相同，所以为
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函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
