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函数的概念与表示
知识领航
1.函数的定义
一般地:设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f(x):A?B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y?f(x),x?A. 注意:函数概念中的关键词
(1) A,B是非空数集.
(2)任意的x∈A,存在唯一的y∈B与之对应.
2. 函数的定义域、值域
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域. 3. 函数的三要素
定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等; 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念
设a,b是两个实数,而且a?b.我们规定:
(1)满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b).
(3)满足不等式a?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数R可以用区间表示为(??,??).“?”读作“无穷大”, “??”读作“负无穷大”,“??”读作“正无穷大”,我们可以把满足x?a,x?a,x?b,x?b,的实数x的集合分别表示为[a,??),
(a,??),(??,b],(??,b).
6. 函数的表示法
(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. (3)图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7. 求函数的解析式的方法
(1)待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. (2)换元法: 适用于已知f(g(x))的解析式,求f(x).
1(3)消元法: 适用于同时含有f(x)和f(),或f(x)和f(?x).
x
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8. 分段函数
在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数. 9. 映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则 ,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应,那么就称对应f(x):A?B为从集合A到集合B的一个映射。
注意:由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
e线聚焦
【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).
A B C D
解:答案为B. 因为B中存在x,使得有两个y与之对应.
【例2】已知函数f(x)?x?3?1x?2.
(1)求函数的定义域. (2)求f(?3),f(6)的值.
(3)当a?0时,求f(a),f(a?1)的值.
解:(1)使得x?3 有意义的实数x的集合是{x|x??3}, 使得
1x?2有意义的实数x的集合是{x|x??2}, 所以,这个函数的定义域就是{x|x??3且x??2} (2)f(3)??3?3?1?3?2??1
f(6)?6?3?1256?2?8 (3)因为a?0,所以f(a),f(a?1)有意义, f(a)?a?3?1a?2 -可编辑修改-
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11 ?a?2?a?1?2a?1【例3】已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x?1)的定义域.
13?x?解:由题意知,0?2x?1?2,所以 22
13 所以f(2x?1)的定义域为 {x|?x?}22【例4】求下列函数的值域.
f(a?1)?a?1?3?(1)y?x?1
(2)y?x2?4x?6,x?[1,5]
x(3) y?x?3(4)y?x?2x?1 解:(1)因为x?0,所以x?1?1,
所以y?x?1的值域为[1,?). (观察法) (2)配方,得y?(x?2)2?2 又x?[1,5],所以2?y?11,
所以y?x2?4x?6,x?[1,5]的值域为[2,11]. (配方法)
xx?3?33(3) y???1?x?3x?3x?3
3?0,所以y?1 x?3x所以 y ? 的值域为{y|y?1}. (分离常数法)
x?31?u2(4)设u?2x?1,则u?0且 x?2
1?u21? u所以 y ? 即 y?(u?1)222
1??所以y?x?2x?1的值域为 [ , ] . (换元法) 2
因为
【例4】下列函数中哪个与函数y?x相等( )
x2A.y?(x) B.y?x C.y?x D.y?
x2332解:函数y?x的定义域为R,对应法则为y?x.
22A中y?(x)的定义域为[0,??),所以y?(x)与y?x不是同一个函数;
B中y?3x3的定义域为R,且y?3x3?x;y?3x3与y?x的定义域和对应法则都相同,所以为
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函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
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