偏导数存在，但函数f(x,y)在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数
?(n?1?nn)的敛散性。 2n?16、（本题满分12分）求球面x2?y2?z2?14在点(1,2,3)处的法线方程。 7、（本题满分12分）计算I???(xD2?y2)dxdy，其中D?{(x,y)1?x2?y2?4}。
?x?t????8、（本题满分12分）力F??x,?y,x?的作用下，质点从(0,0,0)点沿L??y?2t 移至
?2?z?t???(1,2,1)点，求力F 所做的功W。
9、（本题满分12分）计算函数u?xsin(yz)的全微分。
10、（本题满分10分）求级数
1的和。 ?n(n?1)n?1?11、（本题满分12分）求球面x2?y2?z2?14在点(1,2,3)处的切平面方程。 12、（本题满分12分）设z?ln,求x?（x2?xy?y2）?z?z?y?。 ?x?y22(1?x?y)dxdy，其中D是由y?x，y?0，x2?y2?1 13、（本题满分12分）求??D在第一象限内所围成的区域。
?x?0?14、（本题满分12分）一质点沿曲线?y?t从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，
?z?t2?????4力F?1?xi?yj?k所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数 16、（本题满分20分）
1 的敛散性。 nsin?nn?1?x?求一条过点A(?1,0,与一平面?:3L:x?1y?3z??相交的直线方程. 1124y?z?10?平行，且与直线
17、（本题满分20分）
求椭球面x2?2y2?3z2?21上的点M，使直线L:面上.
18、（本题满分12分）计算二重积分I?x?6y?3z?1??在过M点的切平21?2x?y?1??xydxdy。
19、（本题满分12分）已知yz?zx?xy?1，确定的z?z(x,y)，求dz。 20、（本题满分12分）设z?f(x,y)是由方程e?e21、（本题满分10分）计算二次积分
x
z
yz?2e所确定的隐函数，求zx、zy.
2112?10dy?ycosx2dx??dy?ycosx2dx .
2y22、（本题满分10分）计算函数z?2e
23、（本题满分10分）计算二重积分
sinxy的全微分.
?????????24、（本题满分10分）已知向量a?(1,1,1),b?i?2j?4k，求a?b 和a?b.
25、（本题满分10分）求曲面x?xy?xyz?9在点(1,2,3)处的切平面方程.
2yd? 其中D：0≤x≤1,0≤y≤1 . ??1?xD《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题
?1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设b?(2t,?t,2t)，又因
???a?b??18?(2,?1,2)?(2t,?t,2t)?4t?t?4t?9t?t??2?b?(?4,2,?4)
22222、C 解：将z?1代入x?y?z?0得到x?y?1，此时图形为圆。
3、D 解：用极坐标计算方便，
2?a11I???(x2?y2)dxdy??d??r2rdr?2??a4??a4
0042D4、A 解：利用曲线积分的性质，则
36ds?6ds?6?(?0)?9 ?L?L2??11n15、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数?(?1) 收敛，但?(?1)??nnn?1n n?1n?1?n 发散 ，所以
?(?1)nn?1?1 是条件收敛。 n6、D 解：二重积分定义式
?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni中的?是分割细度，代表
的是n个小闭区域直径中的最大值。
7、B 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
?10dx?1?x0f(x,y)dy??dy?011?y0f(x,y)dx
8、A 解：2z?x2?y2在三维空间里表示的是抛物面。
9、B 解：z?f(x,y)在点(x0,y0)可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。 10、C 解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周y??1?x2的曲线积分?L(x2?y2)ds??1ds?L1?2??? 211、B 解：若级数
?an?1?n收敛，由收敛的性质A,C,D三个选项依然是收敛的，而
?(an?1?n?2)未必收敛，或者排除法选择B。 12、C 解：二重积分母表达没关系。
13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例，a?(1,2,?1),b?(x,4,?2),则x=2
22214、B 解：将y?1代入z?x?y得到z?x?1代表的图形为双曲线。
22的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字
??x?y)，则15、B 解：对y求偏导时，x看作常数，z?arctan(?z1= 2?y1?(x?y)16、A 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得
?10dy?1y2f(x,y)dx??dx?01x0f(x,y)dy
17、C 解：利用级数收敛的定义可得
?un?1?n?limSn
n??18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x是奇函数，由对称性，可得则曲线积分
I???2xyds?0
L19、A解：直线方程为
xyz??，则原点坐标(0,0,0)满足方程，该直线必过原点，直线012的方向向量为(0,1,2) ，x轴的方向向量为(1,0,0)，又因为(0,1,2)?(1,0,0)?0，所以直线过原点且?x轴。
20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。
?x?2?tx?2y?3z?4????t??y?3?t代入2x?y?z?6?0得t??1?交点坐标为112?z?4?2t?（1，2，2）
21、A 解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续?可微?连续；或者 偏导数连续?可微?偏导数存在
1122、B 解：tan2~2?nn?tann?1?1绝对收敛。 n223、B 解：对y求偏导时，x看作常数，z?xsiny??z?xcosy，代入点的坐标?y?z?y????1,4????2 2?a?a2a??n?24、C 解：?1?cos?~级数绝对收敛。 ?(?1)1?cos???2n?2nn???n?1?k?nnkn1nk?n~(?1)?(?1)?25、B 解：(?1)级数条件收敛 (?1)?2n2n2nnn?1n26、C 解：交换积分次序后计算简单
?
10dx?eydy??dy?eydx??ey?ydy?x000121y21211y221y211edy?e??e?1? ?02202二、填空题
1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。
limx?0y?0xy1?xy?1?limx?0y?0xy(1?xy?1)(1?xy?1)(1?xy?1)?limx?0y?0xy(1?xy?1)?lim1?xy?1?2x?01?xy?1y?02、2cos(2x?3y) 解：对x求偏导时，y看作常数，
z?sin(2x?3y)??z?2cos(2x?3y) ?x3、?(e4?1) 解：用极坐标求解简单
I?2x?y?4??ex2?y22d???2?012r22r22d??e?rdr?2???edr??e??(e4?1)
02002r24、 0 解： 两个向量垂直，则点积为0?a?b?0 5、???10dy?x201yf(x,y)dx 解：画出积分域，再确定积分限
?
10dx?f(x,y)dy???10dy?1yf(x,y)dx
11111336、 解：?(n?n)?2?3?1??112322 n?121?1?237、 ?1解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公4
因子，第四步利用连续性求解极限。
2?4?xy2?4?xy4??4?xy?2?4?xylim?lim?limx?0x?0x?0xyxy2?4?xyxy2?4?xyy?0y?0y?0???????? ??limy?01??
x?042?4?xy18、3cos(2x?3y) 解：对y求偏导时，x看作常数，
z?sin(2x?3y)?10yyxx2?z?3cos(2x?3y) ?y9、
?0dy?f(x,y)dx 解：画出积分域，再确定积分限 f(x,y)dy??dy?01yy?1dx?f(x,y)dx
10、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0
《高等数学二》期末复习题及答案-28171462418361700
