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考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题： 计算题．
分析： 不等式恒成立，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值．因此记不
等式的左边为F（x），利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R上的最小值，
最后解右边2﹣a小于这个最小值，即可得出答案．
解答： 解：记F（x）=x4﹣4x3∵x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，
∴F（x）在R上的最小值大于2﹣a
求导：F′（x）=4x3﹣12x2=4x2（x﹣3）
当x∈（﹣∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（﹣∞，3）上是减函数；
当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．
∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值
即[F（x）]min=F（3）=﹣27
因此当2﹣a＜﹣27，即a＞29时，等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立
故答案为：（29，+∞）
点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中
.
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档题．
3．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f
（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为 [e﹣2，+∞） ．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题： 综合题．
分析： 求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最大值，进而可建立不等关系，
即可求出a的取值范围．
解答： 解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）max=g（e）=e﹣1
，令f'（x）=0，
∵a＞0，x=±
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）min=f（1）=1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；
当1≤a≤e2，f（x）在[1，
]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，
∴f（x）min=f（
）=≥e﹣1 恒成立；
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当a＞e2时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）min=f（e）=e+≥e﹣1 恒成立
综上a≥e﹣2
故答案为：[e﹣2，+∞）
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1，x2∈[1，
e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g
（x）max．
4．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是
．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析：
令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利
用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．
解答： 解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．
令g（x）=ax3﹣lnx，
①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，
.
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1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为
0，不适合题意．
②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，，∴
函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增
∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．
∴实数a取值范围是
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，
正确求导是关键．
5．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，
x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是
．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 由题意，x∈[0，2]时，，确定的
最值，即可求得a的范围．
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解答： 解：由题意，x∈[0，2]时，，∴
令
，则g′（x）=x2﹣x=x（x﹣1）
∵x∈[0，2]，∴函数在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
∴x=1时，g（x）min=﹣
∵g（0）=0，g（2）=
∴g（x）max=
∴2﹣a≤﹣且4﹣a≥
∴
故答案为：
点评： 本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题．
6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为 [4，+∞] ．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 计算题．
分析： 本题是关于不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对x分类
.
利用导数解决恒成立能成立问题
