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利用导数解决恒成立能成立问题
一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程
思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
1．若
在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是 ______ ．
2．若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围 _________ ．
3．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f
（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为 _________ ．
4．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是 _________ ．
15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，
x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是 _________ ．
6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为 _________ ．
7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是 _________ ．
8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是 __ ．
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9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取
值范围是 _________ ．
10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实
数a的值为 _________ ．
11．若关于x的不等式x2+1≥kx在[1，2]上恒成立，则实数k的取值范围是 _________ ．
12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）
≥g（x2），则实数m的取值范围是（ ）
A． [，+∞） B． （﹣∞，] C． [，+∞） D． （﹣∞，﹣]
13．已知，，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，
使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是（ ）
A． [0，] B． [，0] C． [，] D． [，1]
二利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则
等价于在区间D上f?x?max?A；
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的
f?x?min?B.如
14．已知集合A={x∈R|
≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=﹣1+lnx，?x0＞0，使f
（x0）≤0成立}，则A∩B=（ ）
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A． {x|x＜} B． {x|x≤或x=1} C． {x|x＜或x=1} D． {x|x＜或x≥1}
15．设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．
16．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：
（1）在D内的单调函数；
（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函
数，设（a＞0且a≠1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是 ．
17．存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是 _________ ．
18．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是 _________ ．
19．已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立，则实数a的取值范围是 _ ．
20．存在实数a使不等式a≤2
﹣x+1
在[﹣1，2]成立，则a的范围为 _________ ．
21．若存在x∈，使成立，则实数a的取值范围为 ______ ．
22．设存在实数 ，使不等式 成立，则实数t的取值范
围为 _________ ．
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23．若存在实数p∈[﹣1，1]，使得不等式px2+（p﹣3）x﹣3＞0成立，则实数x的取值范围
为 _________ ．
24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．
25．等差数列{an}的首项为a1，公差d=﹣1，前n项和为Sn，其中a1∈{﹣1，1，2}
（I ）若存在n∈N，使Sn=﹣5成立，求a1的值；．
（II）是否存在a1，使Sn＜an对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a1的值；否
则，说明理由．
参考答案
1若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，]．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题： 综合题．
分析： 把等价转化为lnx≥a﹣1﹣，得到lnx+≥a﹣
1，从而原题等价转化为y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1，由此
利用导数知识能够求出a的取值范围．
解答： 解：∵=a﹣1﹣，
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∴lnx+≥a﹣1，
∵在x∈[1，+∞）上恒成立，
∴y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1，
∵，
令=0，得x=1，或x=﹣1（舍），
∴x∈[1，+∞）时，＞0，
∴y=x+在x∈[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，y=x+在x∈[1，+∞）上取最小值1+=，
故，
所以a．
故答案为：（﹣∞，]．
点评： 本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化
思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是在x∈[1，
+∞）上恒成立等价转化为y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1．
2．若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围 （29，+∞） ．
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