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初三 巩建兵 学 科 数学 版 本 人教新课标版 中考第一轮复习——图形变换 【本讲教育信息】
一、教学内容：
复习十：图形变换 1. 图形的轴对称、平移和旋转． 2. 图形的相似，相似三角形的性质和判定． 3. 认识锐角三角函数，解决与直角三角形有的关的实际问题． 二、知识要点： 1. 轴对称和中心对称 （1）轴对称图形与轴对称具有的性质： ①任何一对对应点所连线段被对称轴垂直平分； ②两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； ③对应线段相等，对应线段所在的直线如果相交，交点在对称轴上； ④对应角相等． （2）中心对称图形的性质： ①对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分； ②对应线段相等，平行或共线； ③对应角相等． 2. 图形的平移和旋转 （1）平移的性质： ①对应点的连线平行（或共线）且相等； ②对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形是平行四边形（四个端点共线除外）； ③对应角相等．对应角两边分别平行，且方向一致． （2）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应线段相等；
③每一组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于旋转角； ④旋转前后的两个图形是全等的．
3. 平移、旋转、轴对称的概念和性质的区别
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（1）平移、旋转、轴对称的运动方式不同：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离；旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将一个图形沿着某一条直线折叠．
（2）平移、旋转、轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同：①平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）；对应点所连的线段平行；对应角的两边分别平行、方向一致；②成轴对称的两个图形的对应线段或延长线相交，且交点在对称轴上；成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分；③旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．
（3）平移、旋转、轴对称作图所需的条件不同：旋转变换要确定旋转中心和旋转角；轴对称要有对称轴；平移变换要确定平移的距离和方向． 4. 坐标变换 如图所示，点A（x，y）是坐标平面内一点，则： 点A（x，y）关于x轴对称的点的坐标是__________； 点A（x，y）关于y轴对称的点的坐标是__________； 点A（x，y）关于原点对称的点的坐标是__________； 点A（x，y）向右平移k个单位后的坐标是__________； 点A（x，y）向左平移k个单位后的坐标是__________； 点A（x，y）向上平移k个单位后的坐标是__________； 点A（x，y）向下平移k个单位后的坐标是__________； 点A（x，y）绕原点旋转180°后的坐标是__________． yA(x,y)Ox 5. 相似三角形 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． （2）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似． ②两角对应相等的两个三角形相似． ③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④三边对应成比例的两个三角形相似． ⑤斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． （3）性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
②相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比． ③相似三角形的周长比等于相似比．
④相似三角形的面积比等于相似比的平方． （4）位似图形
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①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小． 6. 解直角三角形
（1）直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）； ②锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°． ababab③边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝；sinB＝，cosB＝，tanB＝． ccbcca（2）解直角三角形的应用问题的常见概念 视线铅垂线仰角俯角视线水平线hl北hi＝lαA70°东西南 三、重、难点： 本讲重点是图形变换的定义、性质和规律，相似三角形的性质和判定方法．难点是锐角三角函数的应用． 四、考点分析： 图形的变换是中考中的新题型、热点题型，主要考查动手能力、观察能力，实验能力和探索能力．命题主要从以下几部分展开：①轴对称和中心对称；②平移、旋转与实际问题相联系；③在网格中平移、旋转图形；④相似三角形及应用；⑤锐角三角函数及应用． 【典型例题】 例1. 选择题 （1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的特征，易知选项A和B虽是轴对称图形，但将其旋转180°之后并不能与自身重合，故它们不是中心对称图形．选项C是中心对称图形，但不是轴对称图形．只有选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形． 2
（2）如图所示，△ABC中，DE∥BC，且AD＝DB，DE＝4cm，则BC等于（ ）
3
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
ADBEC
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解析：本题所考知识点为相似三角形的判定与性质，由DE∥BC可知△ADE∽△ABC，DEAD2AD242∴＝．∵AD＝DB，∴＝．又DE＝4（cm），∴＝，∴BC＝10（cm），故选BCAB3AB5BC5C．
例2. 填空题
（1）如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为__________． y54321ABC 解析：由题意，易知线段AC的中点P的坐标为（4，3）．变换后对应点与原对应点的3坐标比为1∶2，故变换后的对应点的坐标为（2，）．因为△ABC的位似图形有两个，故另23一个对应点的坐标为（－2，－）． 2（2）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是__________．（写出一种情况即可） ABAC解析：由于＝＝2，所以本题只要再添加它们的夹角相等或第三边的比也等于已DFDEBC知两边的比即可．答案：∠A＝∠D（或＝2） EF（3）如图所示，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’．若点A的坐标为（a，b），则点A’的坐标为__________． yA'OO123456xB'A(a,b)Bx 解析：由题意知：△OAB≌△OA’B’，∴A’B’＝AB＝b，OB’＝OB＝a．∵A’点在第二象限，∴A’（－b，a）． 例3. 如图所示，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使A点叠在直线AD上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明．如果不相似请说明理由； （3）如果沿直线EB折叠纸片，A点是否能叠在直线EC上？为什么？
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BMACNDAEPCBNDQ
解：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°， ∴∠ABQ＝∠PEB．
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴△PBE∽△QAB． BEPE（2）∵△PBE∽△QAB，∴＝， ABQBBEPEBEAB∵QB＝PB，∴＝，即＝， ABPBPEPB又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE． （3）点A能叠在直线EC上． 由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和AE重合． 评析：本题不但考查了用两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等得出两个三角形相似的判定，还应用到相似三角形的性质．解题时同学们还可以动手折叠增加感性的认识． 例4. 如图①所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图③至图⑥中统一用F表示）． 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． （1）将图③中的△ABF沿BD向右平行到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离； （2）将图③中的△ABF绕点F按顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度； （3）将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH． AEB①AEB1BF④C1DBF⑤A1②AEA1F③AEDGDBHDF⑥B1
解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长．
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中考第一轮复习――图形变换.
