2011-2012（2）概率论与数理统计试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. 已知P?A?=0.5，P?A?B??0.8，若A,B互不相容，则P?B?=____.若A,B相互独立，
则P?B?=_____.
2. 设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?3,D(X)?1.2，则n?____. 3. 若随机变量X~N(2,5),Y~U(1, 3)，则E(X2?3Y)?____. 4． 设X1, X2,,X3是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，则
_____分布.
5. 已知来自总体N(?,?2)容量为5的样本的样本方差s2?5，则?2的置信度为0.95
的单侧置信下限为_ _. (z0.05=1.645，z0.025=1.96，?20.05(4)＝9.488，?20.95(4)=0.711，t0.05(4)=2.1318，t0.025(4)=2.7764).
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设A,B是任意随机事件，若P(A)?0.5,P(B)?0.7，则P(AB)的值有可能是[ ].
21?2i?12服从(X?X)?i3(A)0；(B)1；(C)0.2；(D)0.6.
2. 设X,Y是任意随机变量，若E(XY)?E(X)E(Y)，则一定有[ ].
(A)D(XY)?D(X)D(Y); (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y); (C)X,Y相互独立； (D)X,Y不独立.
3. 对任意随机变量X，若E(X)存在，则E{E[E(X)]}等于[ ].
(A)0；(B)X；(C)E(X)；(D)[E(X)]3.
a?bex4. 设随机变量X的分布函数为F(x)?，则F(0)等于[ ].
4?ex(A)0.5；(B)0.2；(C)0.1；(D)0.
?1/?,x2?y2?15. 设X,Y的联合概率密度为f(x,y)??，则X与Y[ ].
?0，其他(A) 独立且同分布；(B) 独立但不同分布； (C) 不独立且不同分布；(D) 不独立但同分布.
三、计算题（每小题5分，共10分）
1. 设A,B是随机事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.8，P(AB)?0.4，求P(AB). 2. A,B,C三台机床加工同样零件，其次品率分别为0.03，0.02，0.01，现有一批零件共160个，A,B,C机床分别加工80个，60个和20个，求这批零件中任取一个是次品的概率.
四、计算题（每小题5分，共10分） 设随机变量X,Y的联合分布律为
YX120120.10.20.3， 0.300.11. 写出随机变量X的边缘分布律和边缘分布函数； 2. 求X,Y的协方差cov(X,Y).
五、计算题（每小题5分，共10分） 设随机变量X的概率密度为
?3x2,0?x?A,(A?0)， f(x)??其他?0,1. 求常数A和P{X?0.5}；
2. 求随机变量Y?X2?1的概率密度.
六、计算题（每小题5分，共10分） 设随机变量X,Y的联合概率密度为
?6x,0?x?y?1, f(x,y)??0,其他,?1. 求Z?X?Y的概率密度； 2. 求条件概率密度fX|Y(x|y).
七.计算题 （每小题5分，共10分） 学校某食堂出售盒饭，共有4元、5元和6元三种价格，出售哪种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别是0.3，0.5和0.2. 已知某天共售出400盒，（已知标准正态分布函数值：?(1)?0.8413,?(1.5)?0.9332,
?(2)?0.9772，?(2.5)?0.9938).
1. 求这天售出盒饭的收入不少于1925元的概率； 2. 求这天售出6元盒饭不多于100盒的概率.
八、计算题（每小题5分，共10分）设随机变量X的概率密度为
?32?x,0?x?a,f(x)??a3??0,其他a(?0)X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本. ，
1. 求a的矩估计量； 2. 求a的最大似然估计量.
九、计算题（每小题5分，共10分） 设某门课程的考试成绩服从正态分布，随机抽取了4名学生的考试成绩，分别为65、65、71和75.
1. 求这组样本观测值的样本均值、样本方差、众数和中位数；
2. 在显著性水平??0.05下，是否可以认为这门课程的平均成绩为70分？
22(已知z0.025?1.96,z0.05?1.645,?0.025(3)?9.348,?0.05(3)?7.815,t0.025(3)?3.1824,
t0.05(3)?2.3534).
参考答案
一、 0.3, 0.6 5 3 ?2(2) 20/9.488=2.108.
二、 C B C B D
三、 1. 解 由于P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.9，所以
P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?0.1.
__________2. 解 由全概率公式：p?
806020?0.03??0.02??0.01?0.02375. 160160160X四、解 1. X的边缘分布律为
P12.
0.60.4x?1,?0,?X的边缘分布函数为F(x)??0.6,1?x?2,
?1,x?2.?，E(Y)?1，E(XY)?1.2，所以 2. 由于E(X)?1.4cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??0.2.
五、解 由?-??f(x)dx?1，有?3x2dx?A3，所以A?1.
0A1. P{X?0.5}??0.5-?f(x)dx??3x2dx?0.53?0.125.
00.52. 方法一 因为y??(x2?1)??2x?0(0?x?1)，所以
3?f(y?1)?,1?y?2,,?（y?1）y?1,1?y?2,,??fY(y)??=?2
??0, 其他.? 其他.?0,方法二 FY(y)?P{Y?y}?2P{X?，由?y1}X的概率密度可知：
当y?0或y?2时，FY(y)?0；
当1?y?2时，FY(y)?P{X?y?1}?P{0?X?y?1}??2y?103xdx?(y?1).
232?3y?1,1?y?2,,?所以，Y?X?1的概率密度为fY(y)??2
? 其他.?0,2
六、解 1. Z?X?Y的概率密度为
32?z/26xdx?z,0?z?1，??04?9?z/2f(x,z?x)dx???6xdx?6z?3?z2,1?z?2， z?14??0，其他.??yfZ(z)?????2. 因为fY(y)????f(x,y)dx??06xdx?3y2(0?y?1)，所以，对任意0?y?1，有
?2xf(x,y)?2,0?x?y,fX|Y(x|y)＝??y
fY(y)??0, 其他.?七、解 1. 记Xi为第i个盒饭的价格，则E(Xi)?4.9，D(X)i?0.49中心极限定理，有?Xii?1400近似地(i=1,2,…,400). 根据
N(4.9?400,0.49?400) ，所以
400i?1P{?Xi?1925}?1??(－2.5)?0.9938.
2. 解 记X为售出6元盒饭的个数，则X~B(400,0.2). 根据中心极限定理，有
X近似地N(80,64)，所以
P{X?100}?P{0?X?100}??(2.5)??(?10)?0.9938.
八、解 1. E(X)????xf(x)dx??0?a3x33dx?a，令 a3431na??Xi， 4ni?1??得a的矩估计量a4X. 32. 似然函数
323nn2 L(a)??f(xi)??3xi?3n?xi,(0?x1,x2,ai?1i?1i?1ann,xn?a），
a?)取对数 lnL(ln?3n?lnx2ii?1n?n3. aln因为
dlnL(a)3n???0，且0?x1,x2,daa,xn?a，所以a的最大似然估计量为
??max{X1,X2,...,Xn}. a
14142九、解 1. x??xi?69,s??(xi?x)2?24，
4i?13i?1众数M0=65，中位数MC＝68.
2. 提出假设H0:??70,H1:??70. 由于方差未知，取检验统计量
T?X?70~t(3)，拒绝域为T?t?2(3). 当??0.05，t0.025(3)?3.1824，此时检验统计量S/2的观测值
t?69?7024/2?2.45?3.1824.
东北大学2011-2012(2)概率统计试题A及答案
