又h??x???x?1??x??m?1??x2，
e2?11，当m?1?e时，即m?e?1， h?x?在?1,e?上递减，所以h?e??0，解得m?；
e?12，当m?1?1即m?0， h?x?在?1,e?递增，∴h?1??0解得m??2；
3，当1?m?1?e，即0?m?e?1，此时要求h?1?m??0又0?ln?1?m??1， 所以0?mln?1?m??m，
所以h?1?m??2?m?mln?1?m??2此时h?1?m??0不成立，
e2?1综上m??2或m?．学*
e?1点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数f?x??x2?3x?3?ex．
??[来源:Z&xx&k.Com]
（1）试确定t的取值范围，使得函数f?x?在??2,t?(t??2)上为单调函数；
（2）若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f?x??z?0?x?R?在??2,t?上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z的取值范围． 【思路引导】
（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据??2,t?为某个单调区间的子集得t的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t的取值范围：当t?2,且t?N时，方程f?x??z?0在??2,t?上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z的满足的条件：
z?max?f??2?,f?1??,min?f?0?,f?t??，最后解不等式可得实数z的取值范围．
??
16
只需满足z?maxf??2?,f?1?,minf?0?,f?t?因为f??2????????即可．
13,f?0??3,f?1??e,f?2??e2，且f?t??f?2??e2?3?f?0?， 2e因而f??2??f?1??f?0??f?2??f?t?， 所以f?1??z?f?0?，即e?z?3，学*
综上所述，当t?2,且t?N时，满足题意，此时实数z的取值范围是?e,3?． 6．已知函数f?x??lnx?ax,g?x??211?x?b，且直线y??是函数f?x?的一条切线． x2（1）求a的值；
（2）对任意的x1??1,e?，都存在x2??1,4?，使得f?x1??g?x2?，求b的取值范围；
??（3）已知方程f?x??cx有两个根x1,x2(x1?x2)，若g?x1?x2??2c?0，求证: b?0． 【思路引导】
111?2ax2（1）对函数f?x?求导， f'?x???2ax?，设直线y??与函数f?x?相切与点
2xxx0?112{{，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；a??x,lnx?ax(x?0)?000?012a??12lnx0?ax02??2（2）对任意的x1?[1,
2ax02?1?0x0e]，都存在x2??1,4?，使得f?x1??g?x2?，只需要f?x1?的值域是g?x2?值域
的子集，利用导数的方法分别求f?x1?、g?x2?的值域，即可求出b的取值范围；（3）根据题意得
{
f?x2??cx2f?x1??cx1,两式相减得， c?lnx2?lnx1x2?x1，所以 ?x2?x1217
x1x?xxx2xb?x2?x1??2?lnx1?lnx2??21?2ln1?，令t?1，则t??0,1?，则
x1?x2x21?x1x2x21?b?x2?x1??2lnt?1?t1?t，令h?t??2lnt?,t??0,1?，对h?t?求导，判断h?t?的单调，证明b?0． 1?t1?t1211?x2 (2) 由（1）得f?x??lnx?x，所以f'?x???x?，当x?(1，
2xxe]时， f?x??0，所以
?f?x?在??1,e?上单调递减，所以当x?(1，
f?x?mine]时， f?x?min?f
?e?
?1e?， 2211?1?x2，当x??1,4?时， g'?x??0，所以g?x?在?1,4?上单?f?1???,g'?x???2?1?2xx2调递增，所以当x??1,4?时， g?x?min?g?1??2?b,g?x?max?g?4??17?1e1??b，依题意得??,?? 4?222?1e2?b??17??22，解得?19?b??3?e．
??2?b,?b?，所以{1714224???b??42(3) 依题意得{f?x2??cx2f?x1??cx1，
,两式相减得
?lnx2?lnx1??12x2?x12?c?x2?x1?，所以2??c?lnx2?lnx1x2?x1?x2?x12方程
g?x1?x2??2c?0可转化为
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7．已知函数
（为自然对数的底数，
），
，
．
（1）若（2）若（3）若
，
时，方程，
，求在，求使
在上的最大值的表达式；
上恰有两个相异实根，求实根的取值范围； 的图象恒在
图象上方的最大正整数．
【思路引导】
(1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数． 试题解析： (1)
时，
,
；
①当时，，在上为增函数，此时，
②当故③当
在
时，，在
在
上为增函数，
上为增函数，此时时，
，
上为增函数，在上为减函数，
19
若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，
此时
若，即时，在上为增函数，则此时，
综上所述：
（2），， ∴在
上单调递减，在上单调递增，
∴
在
上恰有两个相异实根，
，
实数的取值范围是
，
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专题2.15 超越方程反解难,巧妙构造变简单 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)
