所以当时，，即的值域为．
所以使方程有实数解的的取值范围．
2．【2019浙江台州上学期期末】设函数（Ⅰ）求函数
在
处的切线方程；
，R．
（Ⅱ）若对任意的实数，不等式（Ⅲ）设
恒成立，求实数的最大值；
有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．
，若对任意的实数，关于的方程
【思路引导】 （Ⅰ）求出函数在
处的导数后可得切线方程．
的最小值可得的最大值．
（Ⅱ）参变分离后求函数
（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同
的交点，从而得到实数的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）
，
. 且
，所以在
处的切线方程为
.
6
所以
所以的最大值为
.
. （其中）
（ⅰ）当时，即时，则时，
，即在，单调递增，且当时，
的取值范围为；当解. （ⅱ）当减，所以当（ⅲ）当
时，则时，
的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的
有两个非负根，，所以时有4个交点，
或
在，，单调递增，单调递
有3个交点，均与题意不合，舍去.
，则
在
，
单调递增；
有两个异号的零点，，不妨设
7
在当当所以当所以有由所以故
，时，
单调递减. 的取值范围为的取值范围为
， ，
时，
时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.
，
，得，
，
.所以
.
，即.
，得
.
.
所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.
.
3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数（1）若关于的方程（2）求证：当【思路引导】 （1）关于的方程点； （2）要证当【解析】
时，
即证
在
时，
. 在
内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交
8
（2）证明：，
由得在上单调递增，
又,
根据零点存在定理可知，存在，使得
当时，，f（x）在上单调递减；
当
时，
，f（x）在
上单调递增；
故.由，得到，
即，，
故，其中，
令，，
由，得到在上单调递减，
故，即，
综上：有当时，.
【同步训练】
1．已知函数f?x??te?2x?x?12（t?R），且f?x?的导数为f??x?． （Ⅰ）若F?x??f?x??x2是定义域内的增函数，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若方程f?x??f??x??2?2x?x2有3个不同的实数根，求实数t的取值范围． 9
【思路引导】
（Ⅰ）只需f??x??0，即t?于t??x2?x?1（Ⅱ）原方程等价?2x?1?e2x?g?x?恒成立，求出g?x?min即可得结果；
2??7?2x7?2x?2，研究函数ehx?x?x??????e的单调性，结合图象可得结果． 2?2??
令h??x??0，解得x??3或x?1． 列表得：
x ???,?3? ? 增 ?3 0 极大值 ??3,1? ? 减 [来源:]1 0 极小值 ?1,??? ? 增 h??x? h?x? 由表可知当x??3时， h?x?取得极大值当x?1时， h?x?取得极小值?又当x??3时，x?x?25?6e； 232
e． 2
7?0，e2x?0，此时h?x??0．学* 2 10
专题2.15 超越方程反解难,巧妙构造变简单 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)
