【题型综述】
导数研究超越方程
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．
在探求诸如x3?6x2?9x?10?0，x2?2lnx?x?2x?2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．
此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域．
2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．
4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．
【典例指引】
?2例1．已知函数f?x??ax?xlnx在x?e处取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）设F?x??x??x?2?lnx?f?x?，其导函数为F??x?，若F?x?的图象交x轴于两点
2C?x1,0?,D?x2,0?且x1?x2，设线段CD的中点为N?s,0?，试问s是否为F??x??0的根？说明理由．
【思路引导】
（1）先求导数，再根据f?e?2?0，解得a?1，最后列表验证（2）即研究F?????x1?x2???0是否成立，2??因为F??4?x1?x2??x?x??1，利用x12?2lnx1?x1?0，x22?2lnx2?x2?0得?12x1?x2?2?2?t?1?4?x1?x2?2?lnx1?lnx2???1，??所以F?=0，转化为其lnt??0．?2x?xx?xt?1??1212x1?x2?2?lnx1?lnx2?x1?x22?t?1?x1中t?，最后利用导数研究函数u?t??lnt?单调性，确定方程解的情况
t?1x2
1
（2）由（1）知函数F?x??x2?2lnx?x．
∵函数F?x?图象与x轴交于两个不同的点C?x1,0?,D?x2,0?，（ x1?x2）， ∴x21?2lnx1?x21?0，x2?2lnx2?x2?0． 两式相减得x2?lnx1?lnx2?1?x2?x1?x?1
2F??x??2x?2x?1．学* F???x1?x2??2???x42?lnx1?lnx2?41?x2?x?1?? ． 1?x2x1?x2x1?x2下解
2?lnx1?lnx2?4x2?x1?x2?x1?x?2x?x?0．即ln1??0．
12x2x1?x2令t?x1x，∵0?x?2?t?1?1?x2，∴0?t?1，即lnt2t?1?0．
令u?t??lnt?2?t?1?t?1，u??t??14?t?1?2t??t?1?2?t?t?1?2． 又0?t?1，∴u??t??0，
∴u?t?在?0,1?上是増函数，则u?t??u?1??0，
从而知?42?x?lnx1?lnx2??0，故F???x1?x2???0，即F??s??0不成立．1?x2x1?x2?2?
2
故s不是F??x??0的根．学* 例2．设函数f?x??lnx?12ax?bx 2[来源:Zxxk.Com]（1）当a?3,b?2时，求函数f?x?的单调区间；（2）令F?x??f?x??
12a1ax?bx?(0?x?3)，其图象上任意一点P?x0,y0?处切线的斜率k?恒成2x2立，求实数a的取值范围．
2?（3）当a?0,b??1时，方程f?x??mx在区间?1,e??内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
【思路引导】
（1）先求导数f'?x?然后在函数的定义域内解不等式f'?x??0和f'?x?0,f'?x?0的区间为单调增区间， f'?x??0的区间为单调减区间；（2）先构造函数F?x?再由以其图象上任意一点P?x0,y0?为切点的切线的斜率k?11?12?恒成立，知导函数k?恒成立，再转化为a???x0?x0?求解；（3）先把握22?2?maxlnx有唯一实数解，再利用单调函数求解． xf?x??mx有唯一实数解，转化为m?1? 3
专题2.15 超越方程反解难,巧妙构造变简单 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)
