【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴AC＝
＝6（cm），
＝
，由此构建方程即可解决问
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCO， ∵∠DOC＝∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴
＝
＝
，
∴＝＝，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm）， ∵PB＝t，PE⊥AB， 易知：PE＝t，BE＝t，
当点E在∠BAC的平分线上时， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE＝EC， ∴t＝8﹣t， ∴t＝4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
（2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝?（4﹣t）?3+[?3?（8﹣t）+?（8﹣t）?t﹣?3?（8﹣t）
＝﹣t+
2
t+16（0＜t＜5）．
（3）存在． ∵S＝﹣（t﹣）+
2
（0＜t＜5），
∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为
（4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°， ∵∠QOC+∠QOG＝90°， ∴∠EOC＝∠QOG， ∴tan∠EOC＝tan∠QOG， ∴
＝
，
．
∴＝，
整理得：5t﹣66t+160＝0， 解得t＝
或10（舍弃）
2
∴当t＝秒时，OE⊥OQ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度
2024山东省青岛市中考数学试题（解析版）
