【点评】本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质和判定、三角函数、圆周角定理、三角形全等的性质和判定、勾股定理等知识，第三问中利用四点共圆将∠FGE转化为∠FCE是关键，根据正切比的关系设未知数，由已知等量关系列方程可得出结果． 23．（9分）如图，关于x的二次函数y＝﹣x+bx+c经过点B（1，0），点A（﹣3，0），与y轴相交于点C，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在线段AC上方的抛物线上是否存在点F，使△FAO与△ABC相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若G是直线AC下方的抛物线上一点，则S△AGC与S△ADC是否存在2倍关系，若存在，请直接写出点G的坐标．
2
【分析】（1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
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（2）设点F坐标为（x，y），分△FAO∽△BCA和△FAO∽△BCA两种情况进行讨论，列出比例等式，求出x和y的值即可，进而作出判断；
（3）先求出△ACD的面积，得出△AGC的面积是6或，建立方程求解即可得出点G的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x+bx+c经过点B（1，0），点A（﹣3，0）， ∴∴
，
2
2
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x﹣2x+3 （2）如图1， 设点F坐标为（x，y）
根据题意可得AO＝3，AB＝4，BC＝
，AC＝3
，
若△FAO∽△CBA， 则
＝
＝
，
设点F坐标为（x，y）， 则
＝＝
解得x＝﹣，
当x＝﹣时，y＝±（y＝﹣不符合题意）， 此时点F的坐标为（﹣，），
把点x＝﹣代入y＝﹣x﹣2x+3中，y≠，
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2
则点F不存在， 若△FAO∽△BCA， ＝
＝
，
＝
解得x＝﹣， 当x＝﹣，y＝
＝，
（y＝﹣不符合题意）， ），
，
此时点F的坐标为（﹣，
2
把点x＝﹣代入y＝﹣x﹣2x+3中，y≠则点F不存在， 当△FAO∽△ACB时， ＝
＝
，
∴＝＝或﹣
2
，
（舍弃），
，
解得x＝﹣，y＝
把点x＝﹣代入y＝﹣x﹣2x+3中，y≠则点F不存在．
（3）假如则S△AGC与S△ADC是存在2倍关系， 如图2，①S△AGC＝2S△ADC
由题意可得，直线AC的解析式为y＝x+3，
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∵直线DE的解析式为x＝﹣1， ∴N（﹣1，2），D（﹣1，4）， ∴DN＝2
∴S△ACD＝?3?DN＝3， ∵S△AGC＝2S△ADC， ∴S△AGC＝6，
作GH∥y轴交AC于H，
设G（x，﹣x﹣2x+3），（x＜﹣3或x＞0）， 则H（x，x+3），
∴GH＝（x+3）﹣（﹣x﹣2x+3）＝x+3x，
∵无论x＜﹣3，还是x＞0，△AGH和△CGH的GH边上的高的差始终是3， ∴S△GAC＝S△AGH﹣S△CGH＝?3?GH＝?（x+3x）＝6， ∴x＝﹣4或x＝1，
∴G（﹣4，﹣5），或（1，0）． ②2S△AGC＝S△ADC，
同理得S△GAC＝S△AGH﹣S△CGH＝?3?GH＝?（x+3x）＝， 解得x＝G（
，
或x＝
）或（
，
）．
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2
2
2
【点评】此题是二次函数综合题，主要涉及到了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值以及三角形的面积计算等知识点，解（3）问关键用x表示出GH的长，此题有一定的难度．
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2018年广东省深圳市光明新区中考数学一模试卷
