多元函数微分法及应用
全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?vdx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0， ??， 2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0， ??， ?? ?xFz?yFz
?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组 J???：?GG(x,y,u,v)?0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G) ??? ????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)微分法在几何上的应用：
?F?v?Fu?GGu?vFvGv
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?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0?????(t0)?(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGGG(x,y,z)?0?yzzx? 曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?i?j?x?y
???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?多元函数的极值及其求法：
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时，?A?0,(x0,y0)为极小值? ?2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???重积分及其应用：
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??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z?f(x,y)的面积A???D??z???z??1?????dxdy????x???y?22
平面薄片的重心：x?Mx?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD, y?MyM???y?(x,y)d?D???(x,y)d?DD
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?, 对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?(x?y?a)2222， Fy?f??3D?(x,y)yd?(x?y?a)2222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?(x?y?a)22322柱面坐标和球面坐标：
?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?, ??????z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos?
?2?
?r(?,?)2F(r,?,?)rsin?dr?0????f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???d??d??002重心：x?1M???x?dv, y???1M???y?dv, z???1M???z?dv， 其中M?x?????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv， Iy????(x2?z2)?dv， Iz????(x2?y2)?dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)?? 第 12 页 共 13 页
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：?y??(t)???P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??Pdx?Qdy??????x?y?x?yDLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y
u(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。曲面积分：
22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy?????Dxy对坐标的曲面积分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?Dxy号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正?Dyz
号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式：
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???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv???Ands?????斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?cos???yQcos???zR
dydzdzdxdxdycos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP 空间曲线积分与路径无关的条件：??R?y?Q?P?R?Q?P， ?， ??z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??A?tds??常数项级数：
1?qn等比数列1?：q?q???q?1?q(n?1)n1?：2?3???n? 等差数列
2111调和级数1?：????是发散的23n2n?1级数审敛法：
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高数公式大全
