2024高三 第九部分 基本不等式 第1课时 课题： 不等式问题
数学学案 a＋b
1．基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：
2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． a＋b
『试一试』1．“a>0且b>0”是“≥ab”成立的________条件．
2
『答案』充分不必要
2．(2014·扬州期末)已知x，y∈R，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________． 『解析』因为x＋2y＝1，所以x＝1－2y，从而2x＋4y＝21
1
仅当y＝时取等号．故2x＋4y的最小值为22.
4
『答案』22
－2y
2
＋22y＝2y＋22y≥22，当且
2
第 1 页
1．活用几个重要的不等式
ba
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ＋≥2(a，b同号)．
aba＋b?2a＋b?2a＋bab≤?(a，b∈R)； ??2??2?≤2(a，b∈R)． 2．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 『练一练』
4若x>1，则x＋的最小值为________．
x－1
444
『解析』x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
x－1x－1x－1『答案』5
考点一 利用基本不等式证明不等式 2
2
111＋??1＋?≥9. 『典例』 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：??a??b?a＋b1b1a
『证明』 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.
aaabb11bababa
1＋??1＋?＝?2＋??2＋?＝5＋2?＋?≥5＋4＝9，当且仅当＝， ∴??a??b??a??b??ab?ab1111
1＋??1＋?≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立． 即a＝b＝时取“＝”．∴??a??b?22
11a＋b11112
1＋??1＋?＝1＋＋＋＝1＋法二：?＋＝1＋， ?a??b?ababababab∵a，b为正数，a＋b＝1，∴ab≤?
a＋b?211
＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
2?2?4
11121
1＋??1＋?≥1＋8＝9， 于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．∴??a??b?abab21
当且仅当a＝b＝时等号成立．
2
『类题通法』
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
第 2 页
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 『针对训练』
11
设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22.
ab
11
证明：由于a、b均为正实数，所以2＋2≥2 ab
112·＝， a2b2ab
2·ab＝22， ab
112
当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2
abab
2112
当且仅当＝ab时等号成立，所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，
ababab
?当且仅当?2
?ab＝ab，
11＝，a2b2
4
即a＝b＝2时取等号．
考点二 利用基本不等式求最值 11『典例』 (1)(2013·徐州、宿迁三检)若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的
2a＋bb＋1最小值为________．
『解析』 法一：由已知等式得
2a＋2b＋1＝2ab＋2a＋b2＋b，从而
b－b2＋1a＝.
2b
b－b2＋11311
a＋2b＝＋2b＝＋b＋≥＋22b222b223＋1323＋1
＝，故有最小值. 422
法二：设2a＋b＝m，b＋1＝n，则2a＝m－n＋1，b＝n－1， m－n＋113
所以a＋2b＝＋2n－2＝(m＋3n)－.
22211?3nm
＋＝4＋＋≥4＋23，当且仅当m2＝3n2， 所以m＋3n＝(m＋3n)·??mn?mn
11??m＋n＝1，23＋11
即?即m＝3＋1，n＝1＋时取等号，所以a＋2b的最小值为.
23??m＝3n，
『答案』
21
(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
xy
23＋1
2
第 3 页
第1节 基本不等式
