课时作业23 正弦定理、余弦定理
一、选择题 1．在△ABC中，AA．1C．1
233 2
B＝12，sinC＝1，则abc等于( )
231 1
B．3D．2
π
解析：由sinC＝1，∴C＝，由A2由正弦定理得，a答案：C
B＝1
πππ
2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，
263
3
2
1＝1
3
2.
bc＝sinAsinB1sinC＝
2
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解 解析：由正弦定理得
＝， sinBsinC32
B．有两解
D．有解但解的个数不确定
bc∴sinB＝
bsinC＝c40×20
＝3>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C
π
3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，且b＝2acosB，c3＝1，则△ABC的面积等于( )
A.3 43 6
B.3 23 8
C.D.
π
解析：由正弦定理可得sinB＝2sinAcosB，即tanB＝2sinA＝3，所以B＝，因此△
3
ABC是一个正三角形，所以S△ABC＝×答案：A
1233×1×1＝. 24
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b＋c－bc，bc＝4，则
222
△ABC的面积为( )
1A. 2C.3
B．1 D．2
1π1222
解析：∵a＝b＋c－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4.∴△ABC的面积为bcsinA＝
2323. 答案：C
1
5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )
2A．5 C．2
1
解析：由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，
2112即＝×1×2sinB，解得sinB＝. 222∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，AC＝AB＋BC－2AB·BC·cosB＝1＋(2)－2×1×2×此时AC＋AB＝BC，△ABC为直角三角形，不符合题意；
当B＝135°时，AC＝AB＋BC－2AB·BC·cosB＝1＋(2)－2×1×2×?－解得AC＝5.符合题意．故选B.
答案：B
π16．(2016·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝( )
43A.310
10
10 10
B.10 10
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
B.5 D．1
2
＝1. 2
??2?
?＝5，2?
C．－
310D．－
10
1π2
解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，
3423292252102222
则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b＝a＋c－2ac＝c＋c－3c＝c，则b＝2222
52292c＋c－c2b2＋c2－a2210
c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故选C.
2bc1010
2×c×c2
答案：C 二、填空题
π1
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，sinA＝，
43则a＝________.
aba552
解析：由＝，得＝，所以a＝.
sinAsinB1π3
sin34
52
答案：
3
2πb8．(2016·北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝3c，则＝________.
3c2π31
解析：∵a＝3c，∴sin∠A＝3sin∠C，∵∠A＝，∴sin∠A＝，∴sin∠C＝，
322ππ
又∠C必为锐角，∴∠C＝，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝，∴∠B＝∠C，∴b＝c，
66∴＝1.
答案：1
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b1
－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．
4
1
解析：因为cosA＝－，所以sinA＝
4
2
2
bc151115?1?2
1－?－?＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝
4224?4?
315.所以，bc＝24，则(b＋c)＝(b－c)＋4bc＝4＋4×24＝100，所以，b＋c＝10，又b－c＝2，所以，b＝6，c＝4，由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA＝64，所以a＝8.
答案：8 三、解答题
10．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝3bsinA.
(Ⅰ)求B；
1
(Ⅱ)若cosA＝，求sinC的值．
3
2
2
2
解：(Ⅰ)在△ABC中，由
，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝3bsinA，得
sinAsinB＝
3π，得B＝. 26
ab2asinBcosB＝3bsinA＝3asinB，所以cosB＝
122
(Ⅱ)由cosA＝，可得sinA＝，则
33
π3126＋1
sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sinA＋cosA＝.
6226cosAcosB11．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝
absinC.
c(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC； 6222
(Ⅱ)若b＋c－a＝bc，求tanB.
5解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理，可设
asinA＝
＝＝k(k>0)． sinBsinCbc则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.
cosAcosBsinCcosAcosBsinC代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋
abcksinAksinBksinCcosAsinB＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC. 6b＋c－a3(Ⅱ)由已知，b＋c－a＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.
52bc5
2
2
2
2
2
2
42
所以sinA＝1－cosA＝.
5
由(Ⅰ)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， 443
所以sinB＝cosB＋sinB，
555sinB故tanB＝＝4.
cosB
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)－c，则tanC等于( )
2
2
3A. 44C．－ 3
2
2
2
2
2
4B. 33D．－ 4
解析：因为2S＝(a＋b)－c＝a＋b－c＋2ab，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)＝4，sinC－4sinCcosC＋4cosC 22
sinC＋cosCtanC－4tanC＋44
＝4，所以＝4，解得tanC＝－或tanC＝0(舍去)，故选C. 2
tanC＋13答案：C
2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为( )
A.3
2
B.33
2
2
2
2
2
C.3 D．23
2
2
解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b＋c2
b2＋c2－a21π222
－a＝bc，所以cosA＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝，又b＋c－a＝bc≥2bc2bc23
113
－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝3，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则
222△ABC面积的最大值为3.
答案：C
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA＋sinB＋sinAsinB＝sinC，则2
2
2
a＋b的取值范围为________． c2
2
2
解析：由正弦定理得a＋b－c＝－ab，
a2＋b2－c21
∴由余弦定理得cosC＝＝－，
2ab2
∴C＝
2πa＋bsinA＋sinB23π
.由正弦定理得＝＝·(sinA＋sinB)，又A＋B＝，∴B3csinC33
ππππ2π?π??π?＝－A，∴sinA＋sinB＝sinA＋sin?－A?＝sin?A＋?.又0 3?33333?3??sinA＋sinB∈? a＋b?23??3? ∈?1，，1?，∴?. c3??2?? ?23? 答案：?1，? 3?? 4．(2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB. (Ⅰ)证明：A＝2B； (Ⅱ)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 4解：(Ⅰ)证明：由正弦定理得 sinB＋sinC＝2sinAcosB， 故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－ a2 B)． 又A，B∈(0，π)，故0 a21a21 (Ⅱ)由S＝得absinC＝，故有sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB， 4 2 4 2 因为sinB≠0，所以sinC＝cosB. 又B，C∈(0，π)，所以C＝ππ 当B＋C＝时，A＝； 22ππ 当C－B＝时，A＝. 24ππ 综上，A＝或A＝. 24 π ±B. 2
2024届高考数学（文）大一轮复习检测：第三章 三角函数、解三角形 课时作业23
