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高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

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高中数学选修2-2知识点总结

第一章、导数

1.函数的平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?x注1:其中?x是自变量的改变量,平均变化率 可正,可负,可零。

注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数y?f(x0??x)?f(x0)?y?lim,f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim?x?0?x?x?0?x则称函数y?f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数,记作f'(x0)或

y'|x?x0,即f'(x0)=lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim. ?x?x?0?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y?c (2)y?xn?n?N*? (3)y?ax?a?0,a?1? (4)y?ex (5)y?logax?a?0,a?1,x?0? (6)y?lnx (7)y?sinx (8)y?cosx

y'?0 y'?nxn?1 y'?axlna y'?ex y'?1 xlna1y'? xy'?cosx y'??sinx 6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?,g?x?均可导(可积),则有: 和差的导数运算 ?f(x)?g(x)??f'(x)?g'(x) ?f(x)?g(x)??f'(x)g(x)?f(x)g'(x) ''积的导数运算 特别地:??Cf?x???'?Cf'?x? ?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)(g(x)?0) ?g(x)??2???g(x)?'商的导数运算 ?1??g'(x)特别地:? ?'?2gxgx??????复合函数的导数 yx??yu??ux? 微积分基本定理 ?f?x?dx?F(a)--F(b) ab(其中F'?x??f?x?) 和差的积分运算 ?[f(x)?f(x)]dx??a12bbaf1(x)dx??f2(x)dxabab 特别地:积分的区间可加性 ?bakf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数)cbac?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b) .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f'(x)

②令f'(x)>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令f'(x)<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根

(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查f/(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如

果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求f(x)在?a,b?上的极值;

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

9.求曲边梯形的思想和步骤:分割?近似代替?求和?取极限 (“以直代曲”的思想)

10.定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1

?1dx?b?a

ababb性质5 若f(x)?0,x??a,b?,则?f(x)dx?0

①推广:?[f1(x)?f2(x)?a?fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?aabb??fm(x)

ab ②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?aac1bc1c2??f(x)dx

ckb

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.

( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;

(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

第二章、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义: 从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 .......归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ....

14.归纳推理的思维过程大致如图:

实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 15.归纳推理的特点:

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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1.函数的平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x注1:其中?x是自变量的改变量,平均变化率可正,可负,可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念:函数y?f(x0??x)?f(x
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