高考专题突破三 高考中的数列问题
【考点自测】
1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则
a1＋a5＋a9
等于( )
a2＋a3
A．2 B．3 C．5 D．7 答案 B
解析 ∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴a4＝a2a8，∴(a1＋3d)＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d＝a1d， ∵d≠0，∴d＝a1，∴
2
2
2
a1＋a5＋a915a1
＝＝3.故选B.
a2＋a35a1
??anan＋1?
2．(2018·衡水调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?100项和为( ) A.C.100
10199 100
99B. 101D.101 100
1?
?的前
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
1
a1＋4d＝5，??
∵a5＝5，S5＝15，∴?5×?5－1?
5ad＝15，1＋?2?
∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴
1
??a1＝1，
∴?
?d＝1，?
anan＋1
＝111
＝－，
n?n＋1?nn＋1
?1??1??11??1－1?＝1－1＝100. ?的前100项和为?1－?＋?－?＋…＋?∴数列??101101?2??23??100101??anan＋1?
3．若a，b是函数f(x)＝x－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案 D
解析 由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.
??ab＝4，∴?
?2b＝a－2?
2
??ab＝4，
或?
?2a＝b－2，?
??a＝4，
解得?
?b＝1?
??a＝1，
或?
?b＝4.?
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.
4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若
a1·a6·a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan
A．1 C．－2
2
B.2 2
b3＋b9
的值是( )
1－a4·a8
D．－3
答案 D
解析 {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，∴a6＝(3)3b6＝7π，∴a6＝3，b6＝
3,
3
7π， 3
b3＋b92b6
∴tan＝tan 2＝tan2
1－a4·a81－a61－?3?
π?π?7π??＝tan?－?＝tan?－2π－?＝－tan ＝－3.
3?3?3??
21*
5．(2018·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N都有Sn＝an－，若1 33 7π 2× 3 2 (k∈N)，则k的值为________． 答案 4 21 解析 由题意，Sn＝an－， 3321 当n≥2时，Sn－1＝an－1－， 3322 两式相减，得an＝an－an－1， 33∴an＝－2an－1， 又a1＝－1， ∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴an＝－(－2) kn－1 * ， ?－2?－1 ∴Sk＝， 3 由1 * k 题型一 等差数列、等比数列的综合问题 例1 (2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中 q>0，n∈N*. (1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； y2222 (2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝2，求e1＋e2＋…＋en. an2 解 (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立． 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列， 从而an＝qn－1 . 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3， 所以a3＝2a2，故q＝2. 所以an＝2 n－1 (n∈N)． n－1 * (2)由(1)可知，an＝q2 ， y222n－1 所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋an＝1＋q??. an 3 由e2＝1＋q＝2，解得q＝3， 所以e1＋e2＋…＋en ＝(1＋1)＋(1＋q)＋…＋[1＋q＝n＋[1＋q＋…＋q2 2(n－1)2 2(n－1) 2 2 2 2 ] ] q2n－11n＝n＋2＝n＋(3－1)． q－12 思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 3 跟踪训练1 (2018·沧州模拟)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为 2 Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 1* (2)设Tn＝Sn－(n∈N)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． Sn解 (1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， a512 于是q＝＝. a34 31 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－. 223?1?n－1 故等比数列{an}的通项公式为an＝×?－? 2?2?＝(－1) n－1 3·n. 2 1 1＋，n为奇数，?1??2?(2)由(1)得S＝1－?－?＝??2?11－??2，n为偶数. nnnn 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小， 3 所以1 2 4 11325 故0 SnS1236当n为偶数时，Sn随n的增大而增大， 3 所以＝S2≤Sn<1， 4 11347 故0>Sn－≥S2－＝－＝－. SnS24312715* 综上，对于n∈N，总有－≤Sn－≤. 12Sn6 57 所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－. 612题型二 数列的通项与求和 例2 (2018·邢台模拟)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1) n－1 4nanan＋1 ，求数列{bn}的前n项和Tn. 2×1 解 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， 2 S4＝4a1＋ 4×3 ×2＝4a1＋12， 2 2 由题意得(2a1＋2)＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)＝(－1)＝(－1) n－1 n－1 4nanan＋1 4n ?2n－1??2n＋1? n－1 ?1＋1?. ?2n－12n＋1????11??1 1? 当n为偶数时， ＋＋Tn＝?1＋?－?＋?＋…＋??－?? ?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?12n＝1－＝. 2n＋12n＋1 ? 1??11? ?1??11??1＋1?＋?1＋1? 当n为奇数时，Tn＝?1＋?－?＋?＋…－?????3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1? 12n＋2 ＝1＋＝. 2n＋12n＋1 5
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案
