怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键， 下面介绍怎
样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)二f(b)=O,求证在(a, b)中存在￡使 f ' ( ￡ )=f( & )
证明过程：f ' ( ￡ )=f( ￡ ),所以 f' (x)=f(x), 让 f(x)=y, 所以dy y,即1dy dx，所以对两边简单积分，即
dx
y
1
dy 1dx，所以解出来 y
(真的是不定积分的话后面还要加个常数 C,但这只是我的经验方法，所以 不加)就是ln y x，也就是y ex，这里就到了最关键的一步，要使等式一边 为1!,所以把ex除下来，就是2 1 ,所以左边就是构造函数，也就是y e x, e 而y就是f(x)，所以构造函数就是f(x)ex，你用罗尔定理带进去看是不是。 再给大家举几个例子。
二、 已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0, 求证： 在(a, b)中存在 ￡使 f ' ( ￡ ) + 2 ￡ f( ￡ ) = 0
证：一样的，鱼 2xy，把x,y移到两边，就是丄dy 2xdx，所以积分出来
dx
2
y
就是In y x2，注意y —定要单独出来，不能带ln，所以就是y e x，移出 1就是yex2
1,所以构造函数就是f(x)ex2，再用罗尔定理就出来了。
三、 已知f(x)连续，且f(a)=f(-a), 求证在(-a , a)中存在￡使f' ( ￡) + 2f( ￡ ) = 0.
证：d^x 2y 0，移项就是Zdy 21dx,所以In y 2ln x ,所以就是y 2 , dx
移项就是y x2 1，所以构造的函数就是f(x) x2，再用罗尔定理就可以了。
￡
y x x
注：这种方法不是万能的, 结合下面例题尝试做下。 微分中值定理的证明题
1.若f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可导，f(a) f (b) 0，证明:
(a,b)使得：f ( ) f( ) 0 o
证：构造函数F(x) f(x)ex，则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导,
且 F(a) F(b) 0，
即：［f(
由罗尔中值定理知:
f( )]e
0，而 e
(a,b)，使 F ()
经典题型二: 思路分析: 实战分析:
设a,b 0 ,证明:
(a, b)，使得 aeb be
1 1
(1
1 T
)e (a b) o
证：将上等式变形得：1e^
b a
1
-1 (1 )e (
丄)
b a
作辅助函数f(x) xex，则f (x)在［1,1］上连续，在(丄,丄)内可导, b a '
经典题型三
由拉格朗日定理得:
f (-) -- b a
1 a e a 丄 1 b -
i e
即^― a (1 1、- b
.?，1 1 f1、b (1)f- q) 1
(1,1)
b a
即：aeb bee (1 )e (a,b) (a,b)
设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1) 0,有F(x) x2f(x)证明：在(0,1)内至少存在 一点 ，使得： F ( ) 0 。
证：显然F(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，又F(0)
F(1) 0,故由罗尔定理知:
x0 (0,1)，使得 F (x0) 0
0,于是F (x)在［0, x。］上满足罗尔定理条
(0,x0)
(0,1)，即证
又F (x) 2xf(x) x2f (x)，故F (0) 件，故存在
(0,x0)， 使得： F ( ) 0，而
微分中值定理怎样构造辅助函数
