第1课时 导数与函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 函数y＝f(x)在 区间(a，b)上可导 结论 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内单调递增 f(x)在(a，b)内单调递减 f(x)在(a，b)内是常数函数 [提醒] (1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； (2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点； (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；
(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( ) (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ [教材衍化]
1．(选修2－2P32A组T4改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值
解析：选C.在(4，5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数．
1
2．(选修2－2P26练习T1(2)改编)函数f(x)＝e－x的单调递增区间是________． 解析：因为f(x)＝e－x，所以f′(x)＝e－1， 由f′(x)>0，得e－1>0，即x>0. 答案：(0，＋∞) [易错纠偏] 忽视函数的定义域.
函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
11
解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数f(x)的单调递减区间为
xxxxxx(0，1)．
答案：(0，1)
利用导数判断或证明函数的单调性
讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax＋1的单调性． 【解】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
a－12ax＋a－1
f′(x)＝＋2ax＝.
xx2
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0 1－a，则当x∈(0, 2a1－a)时，f′(x)<0；2a1－a，2a1－a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, 2a1－a)上单调递减，在( 2a＋∞)上单调递增． 12 (2024·温州模拟)设函数f(x)＝xln(ax)(a＞0)．设F(x)＝f(1)x＋ 2 f′(x)，讨论函数F(x)的单调性． 1 解：f′(x)＝ln(ax)＋1，所以F(x)＝(ln a)x2＋ln(ax)＋1，函数F(x)的定义域为(0， 2 2 1（ln a）x＋1 ＋∞)，F′(x)＝(ln a)x＋＝. 2 xx①当ln a≥0，即a≥1时，恒有F′(x)＞0，函数F(x)在(0，＋∞)上是增函数； ②当ln a＜0，即0＜a＜1时， 令F′(x)＞0，得(ln a)x＋1＞0，解得0＜x＜ 令F′(x)＜0，得(ln a)x＋1＜0，解得x＞ 所以函数F(x)在?0， 在? 22 1 －； ln a1. ln a－ ?? － 1? ?上为增函数， ln a? ??1?－，＋∞?上为减函数． ln a? 求函数的单调区间 12 (1)函数y＝x－ln x的单调递减区间为( ) 2A．(－1，1) C．(1，＋∞) B．(0，1) D．(0，＋∞) 132 (2)已知函数f(x)＝x＋x＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 312 【解】 (1)选B.y＝x－ln x， 21x－1 y′＝x－＝ 2 xx＝ （x－1）（x＋1） (x>0)． x令y′<0，得0 (2)f′(x)＝x＋2x＋a开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)． ①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立， 2 f(x)在R上单调递增． ②当1－a>0，即a<1时，令f′(x)＝0， －2－4（1－a） 解得x1＝＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a， 2令f′(x)>0，解得x<－1－1－a或x>－1＋1－a； 令f′(x)<0，解得－1－1－a 3 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)． 综上所述：当a≥1时，f(x)在R上单调递增； 当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)， f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)． e 1．已知函数f(x)＝.则函数y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的单调递减区间为________， x－m单调递增区间为________． e（x－m）－ee（x－m－1） 解析：f′(x)＝＝， 22 （x－m）（x－m）当x∈(m，m＋1)时，f′(x)＜0， 当x∈(m＋1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(m，m＋1)上单调递减，在(m＋1，＋∞)上单调递增． 答案：(m，m＋1) (m＋1，＋∞) 12 2．设函数f(x)＝x－mln x，求函数f(x)的单调区间． 2 xxxxx2－m解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， x当m≤0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． （x＋m）（x－m）当m＞0时，f′(x)＝， x当0＜x＜m时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x＞m时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 综上：当m≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m＞0时，函数f(x)的单调递增区间是(m，＋∞)，单调递减区间是(0，m)． 利用导数研究函数单调性的应用(高频考点) 利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重 4 要考向，常以解答题的形式出现．主要命题角度有： (1)函数y＝f(x)与y＝f′(x)图象的相互判定； (2)已知函数单调性求参数的取值范围； (3)比较大小或解不等式． 角度一 函数y＝f(x)与y＝f′(x)图象的相互判定 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可 能是( ) (2)设函数y＝f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是( ) 【解析】 (1)原函数先减再增，再减再增，且x＝0位于增区间内，故选D. (2)由y＝f(x)图象可知，当x∈(－∞，x1)时，y＝f(x)单调递增，所以f′(x)>0. 当x∈(x1，x2)时，y＝f(x)单调递减，所以f′(x)<0. 当x∈(x2，＋∞)时，y＝f(x)单调递增，所以f′(x)>0. 所以y＝f′(x)的图象在四个选项中只有D符合． 【答案】 (1)D (2)D 角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 (1)(2024·浙江省高中学科基础测试)若函数f(x)＝2x＋(a∈R)在[1，＋∞)上 ax 5
新高考数学一轮复习第2讲导数在研究函数中的应用1第1课时导数与函数的单调性教学案
