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函数的概念及相关典型例题
一、知识点
1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，
对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f:A?B，或y?f(x)，
x?A。习惯上我们称y是x的函数。
2、函数的三要素：
?、定义域：x取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量 x的取值
围；
?、对应关系（对应法则）：对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”，是连接x与y的纽带。
?、值域：就是函数值的集合，?f(x)|x?A?。
A B
f:A?B x 对应关系
定义域A 值域?f(x)|x?A? 3、常见函数的定义域和值域
?．一次函数f(x)?ax?b(a?0):定义域R, 值域R; ?．反比例函f(x)?k(k?0):定义域?x|x?0?, 值域?y|y?0?; xf(x) ?．二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0):定义域R
.. s ..
. .. . .
??4ac?b2?4ac?b2?值域：当a?0时，?y|y??；当a?0时，?y|y??
4a?4a??? 4、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，
那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数
母无关，例如：f(t)?2t?1与f(x)?2x?1表示同一函数。）
。（与表示自变量的字
5、复合函数：如果函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域
为D，值域为C，则当C=A时，称函数y=f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫函数，y=f(t)叫外函数。（函数的值域等于外函数
的定义域）
6、区间。
定 义 {x|a?x?b} {x|a 二、典型例题 （一）、判断变量间的关系。 1、函数关系 多对一 非函数关系：一对多 一对一 2、根据图形判断对应关系是否为函数关系的方法。 作垂直于x轴直线l→在定义域移动l→只有一个交点的是函数关系，有两个或 .. s .. . .. . . 两个以上交点的不是函数关系。 3、判断一个对应关系是否为函数的方法。 判断A、B是否为非空数集→判断A中任一元素在B中的是否有元素与之对应→判断A中任一元素在B中的对应关系是否是唯一确定的。 （二）求函数的定义域 1、求给出解析式的函数的定义域（求使解析式各部分都有意义的自变量的取值围） ①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③x0中，x≠0； ④整式部分自变量的取值围为R. 2、求抽象函数的定义域。 ①已知 解 的定义域是［a，b］，求，即为所求的定义域。 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域。 ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 的定义域。 ②已知 方法是：由 ③已知f(g(x))定义域［a，b］，求f(h(x))的定义域。 用题型②的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型①的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域。 （注：在同一法则f下， 与f(h(x))中g(x)与h(x)的围是相同的。） ④已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域。 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例：若f(x)的定义域为??3，5?，求?(x)?f(?x)?f(2x?5)的定义域． .. s .. . .. . . 解：由f(x)的定义域为??3，5?，则?(x)必有?所以函数?(x)的定义域为??4，0?． ??3≤?x≤5，解得?4≤x≤0． ??3≤2x?5≤5，练习：已知函数域。 定义域是，求的定义 分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有 ，即函数的定义域由确 （比较两个区间左右端点，取交集） 函数 的定义域是 3、际问题中的函数的定义域。 ①满足解析式；②实际意义对自变量的限制（处理几何图形的周长、面积、体积等问题时，切记各线段的长度均为正数。） 4、函数定义域的逆向思维（已知所给函数的定义域，求解析式中参数的取值围。） 解法：当二次函数的二次项系数不确定时，需要对其是否为0进行分类讨论；运用转化思想，把函数定义域问题转化成恒成立问题。 例1、 已知函数 分析：函数的定义域为R，表明系数是m，所以应分m=0或 进行讨论。 的定义域为R，数m的取值围。 ，使一切x∈R都成立，由 项的 解：当m=0时，函数的定义域为R； .. s .. . .. . . 当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是 综上可知。 例2、已知函数的定义域是R，数k的取值围。 解：要使函数有意义，则必须 无实数 ≠0恒成立，因为的定义域为R，即 ①当k≠0时，恒成立，解得； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k的取值围是。 （三）求函数值 1、已知函数的解析式求值。 方法：将自变量的值直接代入求解。（求f(g(x))时，一般遵循先后外的原则.） 2、抽象函数求值。 赋值法：根据条件和结论对变量赋一个特殊的值。 思路：从条件中自变量的极端值开始取值、计算出对应的函数值，再结合条件逐步深入，最后使问题获解。 3、与求值有关的含参问题。 方法：利用方程思想求解. .. s ..
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