(Ⅱ)?ABC的面积S=
1bcsinA=3,故bc=4， 2而a2?b2?c2?2bccosA故c2?b2=8，解得b?c=2
x2y222?y0?13. 23．（1）??1；（2）x094【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c的值，然后根据离心率求出a的值，最后根据a、
b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、
k2，并由两条切线的垂直关系得到k1k2??1，并设从点P?x0,y0?所引的直线方程为
y?k?x?x0??y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用
??0得到有关k的一元二次方程，最后利用k1k2??1以及韦达定理得到点P的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P的轨迹方程. （1）由题意知
55??a?3，且有a3，即32?b2?5，解得b?2，
x2y2因此椭圆C的标准方程为??1；
94（2）①设从点P所引的直线的方程为y?y0?k?x?x0?，即y?kx??y0?kx0?， 当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，则k1k2??1， 将直线y?kx??y0?kx0?的方程代入椭圆C的方程并化简得
?9k2?4?x2?18k?y0?kx0?x?9?y0?kx0??36?0，
2?化简得?y?kx??9k?4?0，即?x?9?k?2kxy??y?4??0，
则k、k是关于k的一元二次方程?x?9?k?2kxy??y?4??0的两根，则
22?9?y0?kx0?2?36??0， ????18ky?kx?4?9k?4??00?????220020240201220240202y0?4k1k2?2??1，
x0?922化简得x0?y0?13；
②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为??3,?2?，此时点P也在圆
x2?y2?13上.
综上所述，点P的轨迹方程为x2?y2?13.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
24．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）证明AA1?CD，CD?AD，推出CD?平面AA1D1D，得到CD?AE，证明
6． 9AE?ED，即可证明AE⊥平面ECD；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面EAC所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱ABCD?A1B1C1D1是直四棱柱， ∴AA1?平面ABCD，而CD?平面ABCD，则AA1?CD， 又CD?AD，AA1IAD?A，
∴CD?平面AA1D1D，因为平面AA1D1D，∴CD?AE， ∵AA1?AD，AA1?AD， ∴AA1D1D是正方形，∴AE?ED， 又CDIED?D，∴AE⊥平面ECD.
（2）解：建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1?AD?2AB?4，
则A?0,0,0?,A1?0,0,4?,C?2,4,0?,D?0,4,0?， ∴E?0,2,2?， uuuuruuuruuur∴A1C??2,4,?4?,AC??2,4,0?,AE??0,2,2?，
vvuuur?n·AC?0?2x?4y?0uuuv设平面EAC的法向量为n??x,y,z?，则?v，即?，
2y?2z?0n·AE?0??r不妨取n???2,1,?1?，
ruuurngAC?4?4?446=?r?则直线A1C与平面EAC所成角的正弦值为ruuu．
96g3666nAC【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）结合几何体，因为E,G分别是BC,SC的中点，所以EG//SB.，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）由F,G分别是DC,SC的中点，得FG//SD.由线面平行的判定定理FG//平面
BDD1B1.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.
【详解】 证明： （1）如图，
连接SB，QE,G分别是BC,SC的中点，
?EG//SB.
又QSB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1，
所以直线EG//平面BDD1B1.
（2）连接SD,QF,G分别是DC,SC的中点，
?FG//SD.
又∵SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1,
?FG//平面BDD1B1.
又EG?平面EFG,FG?平面EFG,EG?FG?G， ∴平面EFG//平面BDD1B1. 【点睛】
本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.
26．（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
1 3（1）在正方形ABCD中，有AB?AD，CD?BC，在三棱锥M?DEF中，可得
MD?MF，MD?ME，由线面垂直的判定可得MD?面MEF，则MD?EF； （2）由E、F分别是AB、BC边的中点，可得BE?BF?1，求出三角形MEF的面积，结
合?1?及棱锥体积公式求解． 【详解】
（1）证明：Q在正方形ABCD中，AB?AD，CD?BC，
?在三棱锥M?DEF中，有MD?MF，MD?ME，且ME?MF?M，
?MD?面MEF，则MD?EF；
（2）解：QE、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点， ?BE?BF?1，
11?SVMEF?SVBEF??1?1?，
221111由（1）知，VM?DEF?SVMEF?MD???2?．
3323
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．
【好题】高三数学下期末一模试卷(及答案)(2)
