一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
AB，求出AC即可. （2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·试题解析：（1）连接CD,如图, ∵AD是⊙O的直径, ∴∠ACD=90°, ∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA， ∴∠CAD+∠PAC=90°， 即∠PAD=90°， ∴PA⊥AD， ∴PA是⊙O的切线；
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°， ∴∠ACF=∠D， ∴∠ACF=∠B， 而∠CAG=∠BAC， ∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC， ∴AC2=AG?AB=12， ∴AC=23．
2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．
【答案】(1)见解析;(2)【解析】
10. 10分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可． 详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点， ∵△BDC是Rt△，且E为BC中点， ∴∠EDB=∠EBD．（2分） 又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点， 又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形． ∴∠CAB=45°． 过E作EH⊥AC于H， 设BC=2k，则EH=∴sin∠CAE=
2k，AE=5k， 2EH10． ?AE10
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
3．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.
(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；
(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【解析】
试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出
∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度
试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=∴DM=OD?sin∠EOD=6×
ED4OD3?，cos∠EOD=?，EO5OE5424318=，MO=OD?cos∠EOD=6×=，∴EM=EO﹣MO=10﹣55551832=，EA=EO+OA=10+6=16． 55∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴
DMEM?，即GAEA24325?5 ，解得GA=12． GA16
点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．
4．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； (2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得
出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形． 【详解】
（1）直线PD为⊙O的切线， 理由如下： 如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°， 又∵DO=BO， ∴∠BDO=∠PBD， ∵∠PDA=∠PBD， ∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线PD为⊙O的切线； （2）∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBA=90°， ∵∠BED=60°， ∴∠P=30°， ∵PD为⊙O的切线， ∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3， ∴tan30?∴PO?0OD，解得OD=1， PDPD2?OD2=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1； （3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
人教历年备战中考数学易错题汇编-圆的综合练习题附详细答案
