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专题检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
y2
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的
m＋n3m－n距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) C．(0,3)
2
2
x2
B．(－1，3)
D．(0，3)
2
2
解析：选A 由题意得(m＋n)(3m－n)>0，解得－m 2．一个焦点为(26，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) 49A.C. －＝1 188－＝1 1610 2 2 2 y2x2 x2y2 y2x2 x2 B.D. －＝1 188－＝1 1610 y2 y2x2 解析：选B 设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以 49|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1. 188 y2x2 x2y2 x2y2 3．设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点， ab△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为( ) A.7 1427 7 B.7 737 14 2 2 2 C.D. 解析：选C 因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b＋c＝4c， c2427 4a＝7c，e＝2＝，故e＝. a77 2 2 2 4．已知双曲线x－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支 8分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝( ) A．22 B．3 2 y2 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 C．4 D．22＋1 解析：选C 设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 1312 5．(2024届高三·衡水中学调研)已知x＝x1，x＝x2是函数f(x)＝ax－ax－x的两 321?1?x??2 个极值点，且A?x1，?，B?x2，?，则直线AB与椭圆＋y＝1的位置关系为( ) x1??x2?2? A．相切 C．相离 2 2 B．相交 D．不确定 解析：选B 依题意得f′(x)＝ax－ax－1， 显然Δ＝a＋4a>0，故a<－4或a>0， 又x1，x2是方程ax－ax－1＝0的两根， 1 所以x1＋x2＝1，x1x2＝－， 2 2 a1 故kAB＝ x2x1 ＝a， x2－x1 x1 －1 1 则直线AB的方程为y－＝a(x－x1)， 即y＝ax＋ x1＋x2 ，即y＝a(x－1)， x1x2 显然直线过定点(1,0)， 又点(1,0)在椭圆＋y＝1内， 2故直线与椭圆相交． 6．已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C：y＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F为C的焦点，△OFM的面积等于2，则k＝( ) 1A. 41C. 2 2 2 x2 2 1B. 32D. 3 解析：选C 由抛物线方程y＝4x可知焦点F(1,0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， ?2x0＝x1＋x2，? ∵M为线段AB的中点，∴? ??2y0＝y1＋y2. 2 2 2 2 将y1＝4x1，y2＝4x2两式相减可得y1－y2＝4(x1－x2)?(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)? 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 y1－y22 ＝， x1－x2y0 2即k＝. y0 ∵k>0，∴y0>0， 1 ∴S△OFM＝×1×y0＝2，解得y0＝4， 221∴k＝＝. y02二、填空题 7．已知焦点为F的抛物线y＝2px(p>0)上一点A(m，22)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为25，则m＝________. 解析：因为圆A被y轴截得的弦长为25， 所以 m＋5＝|AF|＝m＋. 2又A(m,22)在抛物线上， 所以8＝2pm. 由①与②可得p＝2，m＝2. 答案：2 ② 2 2 p ① x2y2 8．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与 ab焦点为F的抛物线x＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝， 222 由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p. 22 2 pppppxy??2－2＝1， 联立?ab??x2＝2py2 22 消去x，得ay－2pby＋ab＝0， 22222 2pb2pb所以y1＋y2＝2，所以2＝p， 2 aab21b2即2＝，故＝， a2a2 所以双曲线的渐近线方程为y＝± 2 x. 2 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 答案：y＝±2x 2 x2y2 9．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是 ab―→―→ 双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则PF1·PF2的最小值的取值范围是________． n2?m2n222?解析：设P(m，n)，则2－2＝1，即m＝a?1＋2?. ab?b? 又F1(－1,0)，F2(1,0)， ―→―→ 则PF1＝(－1－m，－n)，PF2＝(1－m，－n)， ―→―→?n?PF1·PF2＝n2＋m2－1＝n2＋a2?1＋2?－1 2 ?b? ?a?22 ＝n?1＋2?＋a－1≥a－1，当且仅当n＝0时取等号， ?b? 2 2 ―→―→2 所以PF1·PF2的最小值为a－1. 111由2≤≤4，得≤a≤， a421532 故－≤a－1≤－， 164 3?―→―→?15 即PF1·PF2的最小值的取值范围是?－，－?. 4??163??15 答案：?－，－? 4??16三、解答题 10．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的 2―→―→ 垂线，垂足为N，点P满足NP＝2 NM. (1)求点P的轨迹方程； ―→―→ (2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)， ―→―→ 则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)． 2―→―→ 由NP＝2 NM，得x0＝x，y0＝y. 2 x2 2 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1. 22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2. (2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)， ―→―→ 则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)， ―→―→ OQ·PF＝3＋3m－tn， ―→―→ OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)． ―→―→22 由OP·PQ＝1，得－3m－m＋tn－n＝1， 又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0. ―→―→―→―→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 11．(2017·西安质检)已知椭圆与抛物线y＝42x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 2. 2 2 2 2 2 2 x2y2 (1)求椭圆的标准方程； ―→―→ (2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若AP＝2PB，求△AOB的面积． x2y2 解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab由题意可得c＝2，又e＝＝∴b＝a－c＝2， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 42(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ??－x1＝2x2，―→―→ 由AP＝2PB，得? ?1－y1＝2y2－1.? 2 2 2 ca2 ，∴a＝2. 2 x2y2 设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得 (2k＋1)x＋4kx－2＝0， 4k2 ∴x1＋x2＝－2，x1·x2＝－2. 2k＋12k＋1 1?4k?2 将x1＝－2x2代入上式整理可得，?2?＝2， ?2k＋1?2k＋1 鼎尚出品 22
高考数学二轮复习专题检测十七圆锥曲线的方程与性质理01
