微积分初步期末模拟试题
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
1．函数f(x?2)?x2?4x?2，则f(x)? x2?2 。
3??xsin?1,x?02．若函数f(x)??,在x?0处连续，则k? 1 。 x?k,x?0?13．曲线y?x在点(1,1)处的切线斜率是 。
2124．?(sinxcos2x?x2)dx? ? 。
?133(5)65．微分方程(y??)?4xy?ysinx的阶数为 5 。
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
x?5?x的定义域是（ D ）。
ln(x?2)A．(2,??) B．(2,5]
C．(2,3)?(3,5) D．(2,3)?(3,5] 2．设y?lg2x，则dy?（ A ）。
11ln101A．dx B．dx C．dx D．dx
xln102xxx3．下列函数在指定区间(??,??)上单调减少的是（ B ）。
1．函数f(x)?A．sinx B．3?x C．x2 D．ex 4．若函数f(x)?x?x(x?0)，则?f?(x)dx?（ C ）。
12A．x?x?c B．x2?x2?c
233322C．x?x?c D．x?x?c
25．微分方程y??0的通解为（ D ）。
23A．y?0 B．y?cx C．y?x?c D． y?c 三、计算题（本题共44分，每小题11分）
x2?2x?151．计算极限lim。
x?3x2?9(x?5)(x?3)4? 解：原式?limx?3(x?3)(x?3)32．设y?xx?cos3x，求dy。
3解：y??x2?3sin3x
2132x)dx dy?(x?3sin3213．计算不定积分?(2x?1)10dx。
解：?(2x?1)10dx=
101110(2x?1)d(2x?1)?(2x?1)11?c ?2224．计算定积分?xexdx。
解：?xexdx?xex?0011?10exdx?e?ex?1
01四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
4解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h?2
x16所以S?x2?4xh?x2?,
x16S??2x?2
x令S??0，得x?2，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水
箱的表面积最小，
此时的费用为 Sx?2?10?40?160（元）
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x?1)?x2?2x?2，则f(x)? sin2x⒉lim? 2 ． x?0x ⒊曲线y?x?12x2?1 ．
13在点(1,1)处的切线方程是 y??x? 22．
⒋?(sinx)?dx?
sinx?c ．
⒌微分方程xy????(y?)4sinx?ex?y的阶数为 3 ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x)?x的定义域是（ C ）．
ln(x?2)A． (?2,??) B．(?1,??)
C．(?2,?1)?(?1,??) D．(?1,0)?(0,??)
?x2?1,x?0⒉当k?（ B ）时，函数f(x)??，在x?0处连续.
x?0?k,A．0 B．1 C．2 D．?1
⒊下列结论中（ D ）不正确．
A．若f(x)在[a，b]内恒有f?(x)?0，则在[a，b]内函数是单调下降的. B．f(x)在x?x0处不连续，则一定在x0处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D．f(x)在x?x0处连续，则一定在x0处可微. ⒋下列等式成立的是（ A ）． A．
df(x)dx?f(x) B．?f?(x)dx?f(x) ?dxC．d?f(x)dx?f(x) D．?df(x)?f(x)
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ C ）
dydyA. ?x?y； B. ?x(y?x)；
dxdxdydyC. ?xy?y； D. ?xy?sinx
dxdx
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
x2?9⒈计算极限lim2．
x?3x?2x?3(x?3)(x?3)x?33?lim? 解：原式?limx?3(x?1)(x?3)x?3x?121 ⒉设y?lnx?sin，求dy.
x111解：y???cos(?2)
xxx1cos()1x)dx dy?(?xx21cos ⒊计算不定积分?2xdx
x1cos111解：?2xdx= ??cosd()??sin?c
xxxx⒋计算定积分
?e1xlnxdx
e1ex21111112dx?e2?e2??e2? 解：?xlnxdx?xlnx??1121x244442四、应用题（本题16分）
e 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
32解：设底的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h?32,h?2，
x于是
32128 y?x2?4xh?x2?4x?2?x2?xx128令y??2x?2?0，解得x?4是唯一驻点，易知x?4是函数的极小值
x32点，也就是所求的最小值点，此时有h?2?2，所以当x?4，h?2时用料最
4省．
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x?2)?x2?4x?2，则f(x)? 1sinx⒉lim ． ? x?02x2x2?2 ．
3??xsin?1,x?0 ⒊若函数f(x)??在x?0处连续，则k? 1 ． x?k,x?0?⒋?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? 1 ． x⒌微分方程y??y的通解为 y?cex ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x)?1?5?x的定义域是（ B ）．
ln(x?1)A． (?1,5) B．(?1,0)?(0,5] C． (?1,5] D．(?1,0)?(0,5)
⒉设y?lg2x，则dy?（ C ）.
11ln101A．dx B．dx C．dx D．dx
2xxln10xx⒊下列结论中（ D ）不正确．
A．若f(x)在[a，b]内恒有f?(x)?0，则在[a，b]内f(x)是单调下降的. B．f(x)在x?x0处不连续，则一定在x0处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D．f(x)在x?x0处连续，则一定在x0处可微. ⒋若函数f(x)?x?x(x?0)，则?f?(x)dx?（ A ）. A. x?x?c B. x2?x?c
123 C. x2?x2?c D. x2?x2?c
232⒌微分方程(y??)3?4xy(4)?y5sinx的阶数为（ C ）
33A. 2 B. 3 C.4 D. 5
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
x2?1⒈计算极限lim2．
x??1x?3x?2(x?1)(x?1)x?1?lim??2 解：原式?limx??1(x?1)(x?2)x??1x?2 ⒉设y?3x?cosex，求dy.
解：y??3xln3?sinex?ex
xxxdy?(3ln3?esine)dx
⒊计算不定积分?1xedx x21x11e1解：?2dx= ??exd()??ex?c
xx?⒋计算定积分?2xcosxdx
0?20解：?xcosxdx?xsinx02????20sinxdx??2?cosx02???2?1
四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h?所以S(x)?x2?4xh?x2?4 2x16, x16 x2令S?(x)?0，得x?2，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水
S?(x)?2x?箱的表面积最小.
此时的费用为 S(2)?10?40?160（元）
《微积分基础》模拟试题
