2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
f(x)?|x3?3x|的最大值为__18___. uuuruuuruuuruuur2、在?ABC中，已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?___4____.
1、当x?[?3,3]时，函数3、从集合
?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3_______. 1024、已知a是实数，方程x，则?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b（i是虚部单位）
|a?bi|的值为_____22___. x2y25、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:??1的右焦点为F，一条过原点O且
124倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若?FAB的面积为83，则直线的斜
1率为_______.
26、已知a是正实数，k?alga的取值范围是___[1,??)_____.
7、在四面体ABCD中，AB?体积为_____58
、
已
知
AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的
3_______.
等
差
数
列
?an?和等比数列
?bn?满足：
a1?b1?3,a2?b2?7,a3?b3?15,a4?b4?35,则an?bn?___3n?1?2n___.
（n?N）
*71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，9、将27,37,47,48,55，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a?b?c，则满足条件的三元数组
(a,b,c)的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在?ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明： （1）bcosC?ccosB?a
（2）
cosA?cosB?a?b2sin2cC2
12、已知
a,b为实数，
a?2，函数
af(x)?|lnx?|?b(x?0)x.若
f(1)?e?1,f(2)?（1）求实数a,b； （2）求函数
e?ln2?1. 2f(x)的单调区间；
（3）若实数c,d满足c?d,cd?1，求证：f(c)?f(d)
13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线
OM
上有一动点B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点
C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.
14、设是a,b,c,d正整数，a,b是方程x长是整数且面积为ab的直角三角形.
2?(d?c)x?cd?0的两个根.证明：存在边
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N，且A?B?N?{1}，则a?b? 1 ． 2．已知正项等比数列{an}的公比q?1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1?a4?a73?5． ?a3?a6?a923．函数f(x)?6x?1[0,]． 的值域为
x2?4x?763(sin??cos?)2?2(sin??cos?)2?1，4．已知3sin2??2sin2??1，则cos2(???)??1． 35．已知数列{an}满足：a1为正整数，
an?1?an?,an为偶数,??2 ??3an?1,an为奇数,如果a1?a2?a3?29，则a1? 5 ．
6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b，且C?2A，则sinA?7． 4
全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)
