2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70分)
f(x)?|x3?3x|的最大值为__18___. uuuruuuruuuruuur2、在?ABC中,已知AC?BC?12,AC?BA??4,则AC?___4____.
1、当x?[?3,3]时,函数3、从集合
?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3_______. 1024、已知a是实数,方程x,则?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b(i是虚部单位)
|a?bi|的值为_____22___. x2y25、在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:??1的右焦点为F,一条过原点O且
124倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若?FAB的面积为83,则直线的斜
1率为_______.
26、已知a是正实数,k?alga的取值范围是___[1,??)_____.
7、在四面体ABCD中,AB?体积为_____58
、
已
知
AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的
3_______.
等
差
数
列
?an?和等比数列
?bn?满足:
a1?b1?3,a2?b2?7,a3?b3?15,a4?b4?35,则an?bn?___3n?1?2n___.
(n?N)
*71,75这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,9、将27,37,47,48,55,则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31,三边a,b,c均为整数,且a?b?c,则满足条件的三元数组
(a,b,c)的个数为__24___.
二、解答题(本题80分,每题20分)
11、在?ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明: (1)bcosC?ccosB?a
(2)
cosA?cosB?a?b2sin2cC2
12、已知
a,b为实数,
a?2,函数
af(x)?|lnx?|?b(x?0)x.若
f(1)?e?1,f(2)?(1)求实数a,b; (2)求函数
e?ln2?1. 2f(x)的单调区间;
(3)若实数c,d满足c?d,cd?1,求证:f(c)?f(d)
13、如图,半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线
OM
上有一动点B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点
C,D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.
14、设是a,b,c,d正整数,a,b是方程x长是整数且面积为ab的直角三角形.
2?(d?c)x?cd?0的两个根.证明:存在边
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.已知集合A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?N,且A?B?N?{1},则a?b? 1 . 2.已知正项等比数列{an}的公比q?1,且a2,a4,a5成等差数列,则a1?a4?a73?5. ?a3?a6?a923.函数f(x)?6x?1[0,]. 的值域为
x2?4x?763(sin??cos?)2?2(sin??cos?)2?1,4.已知3sin2??2sin2??1,则cos2(???)??1. 35.已知数列{an}满足:a1为正整数,
an?1?an?,an为偶数,??2 ??3an?1,an为奇数,如果a1?a2?a3?29,则a1? 5 .
6.在△ABC中,角A,B,C的对边长a,b,c满足a?c?2b,且C?2A,则sinA?7. 4
全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)
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