常见递归数列通项公式
的求解策略
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
常见递归数列通项公式的求解策略
数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列
如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足 a1 =2，an+1 =1－ ，求an 。
解:an+1 =1－ an+2 =1－ =－ , 从而 an+3 = 1－=1＋an－1=an ,
即数列是以3为周期的周期数列。又a1 =2，a2=1－=, a3 =－1
2 , n=3k＋1
所以 an= ,n=3k＋2 ( kN )
－1 , n=3k＋3
二、线性递归数列
1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数
列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时 ，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－ 为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=
－=
即数列是以为公比，
为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an－1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .
(1)解： a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .
(2)证明： an=3n--1＋an－1 (n2) ,
an－an－1=3n—1 ,
an－1－an－2=3n—2 ,
an－2－an－3=3n—3 ……, a4－a3=33 ,
a3－a2=32 ,
a2－a1=31
将以上等式两边分别相加，并整理得:
an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,
即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .
（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
例4、已知数列｛an｝满足a1 =－2 , a n=3n an－1，求通项a n。
解： a1 =－2 ,
a n=3n an－1
a n－1=3n－1 an－2 ，
a n－2=3n－2 an－3 ，
……，
a 4=34 a3 ，
a 3=33 a2 ， a2=32 a1
将以上等式两边相乘并整理得：
a n=3n·3n－13n－2·…·34·33·32·a1=－2·32+3+…+n
=－2·3
（3）当f(n)是非1的常数p时，an＋1 =p an＋g(n) 可用两边同除以pn+1 得 ，令bn+1= ，则bn+1=bn＋，仿照（1）求出 bn之后，再求出an .
例5、设有数列｛an｝: a1 =1 , an＋1 = an＋ ，求an .
解：an＋1 = an＋ 2n+1an＋1=2nan＋2
常见递归数列通项公式的求解策略修订版
