??反例：
???x??xdx是发散的，即认为???dx?0 221?x1?x是错的！
??dx（3）
2(x?7)x?2?
??（4）当k为何值时，
2?1dx收敛；k为何值，发散；kxlnxk为何值，反常积分取得最小值
三、定积分的应用（微元法） 1、几何方面 （1）位于曲线y?xe(0?x???)下方，x轴上方的无
界图形的面积是____
3?sin2?x（2）曲线yx(0?x??)与x轴围成的平面图形绕
x轴旋转一周所得旋转体的体积____
（3）曲线y?(x?1)(x?2)与x轴围成的平面图形绕y轴
旋转一周所得旋转体的体积____ （4）设有曲线y?x?1，过原点做其切线，求由此曲线、
切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转
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体的表面积 （5）过原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx
及x轴围成平面图形D， ① 求D的面积A；
② 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V （6）求曲线y?3?x?1与x轴围成的封闭图形绕直线
2y?3旋转一周所得旋转体的体积V
?x?acos3t（7）设星形线?，
3?y?asint(a?0)求面积A；全长s；绕x轴旋转得旋转面的全面积Ax；
绕x轴旋转得旋转体的体积Vx （8）双纽线(x示为
2?y2)2?x2?y2所围成区域的面积可表
?A 2?4cos2?d? B 4?4cos2?d?
00??C 2?401?2cos2?d? D ?04(cos2?)d?
2??xtantdt(0?0（9）曲线yx?)的弧长s?____
4? （2011,1,2） （10）当0????时，对数螺线r?e?的弧长为____
（2010,2）
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(11)设封闭曲线
L的极坐标方程为r?cos3?，
(??6????e?6)，则L所围平面图形的面积是____ sinx在x?0的部分与x轴所围成
(12)设曲线y1?x2的平面区域记为?，试求平面区域?绕x轴旋转所得的旋转体体积V 2、物理方面
（1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤
每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比，比例系数为k(k?0)，汽锤第一次击打桩打进地下a米，
?1)，
根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0?r①问汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ ②若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （2）证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所做
mgRh的功是W?，其中g是重力加速度，R是地球半径
R?h（3）如图所示：x轴上有一线密度为常数?，长度为l的细
杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为
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0A ?l?km?0km?dxdx B ? 2?l2(a?x)(a?x)km?km? D 2? dxdx(a?x)2(a?x)2l20C 2?0l?2（4）设一半径为R，中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数?，在圆心处有一个质量为m的质点M，试求细棒对质点M的引力
（5）某闸门形状与大小如图示：其中l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力
5与闸门下部承受的水压力之比为
4应用多少米？
，闸门矩形部分的高h（6）一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲
1面，该曲线由x?y?2y(y?)与
2221x?y?1(y?)连接而成，求容器的容积；
222若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位:m,重力加速度为gm的密度为103、 经济方面
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s2，水
3kgm3）
四、关于定积分的证明
问题 精品文档
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考研资料数学复习题.doc
