①若f(x)在?a,b?可积，则?(x)??af(t)dt在?a,b?上连续；
xx② 若f(x)在?a,b?连续，则?(x)??af(t)dt在?a,b?上可导
证明定积分有关命题时使用！
注：变限积分?(x)??f(t)dt只要存在就是连续的！
xa
③ 设f(x)是连续函数，
d??f(t)dt??f(x) dxd??f(t)dt???f(x) dxd??f(t)dt??f[a(x)]a?(x) dxd ??f(t)dt???f[b(x)]b?(x) dxxabxa(x)abb(x)
d ??f(t)dt??f[b(x)]b?(x)?f[a(x)]a?(x) dxdd ??f(x)g(t)dt???f(x)?g(t)dt?
dxdx?f?(x)?g(t)dt?f(x)g(x)
a(x)b(x)xxaaxa
dd??f(x?t)dt?x?t?u??f(u)(?du)??f(x?a) dxdxx0ax?a（3）当f(x)为奇函数，? 当f(x)为偶函数，?考研
x0x0f(t)dt为偶函数； f(t)dt为奇函数；
奇函数的所有原函数都是偶函数； 偶函数的所有原函数只有一个是奇函数
（4） 定积分存在的充分条件：f(x)在?a,b?连续或在?a,b?上有界且只有有限个间断点，则?af(x)dx存在，也称
bf(x)在?a,b?可积
定积分存在的必要条件：可积函数必有界. 即若?af(x)dx存在，则f(x)在?a,b?上必有界
b
（5）微积分基本公式 （牛顿--莱布尼兹公式）
?f(x)dx?F(b)?F(a) ，F?(x)?f(x)
ba 注：①f(x)在?a,b?连续，揭示了不定积分和定积分的联系
② 在积分区间?a,b?上只有有限个间断点的被积函数
f(x)，只要其在?a,b?上存在原函数，牛顿--莱布尼兹公式
依然成立 （6）换元公式：?baf(x)dxx??(t)?f??(t)???(t)dt
????(t)在??,??连续，条件：f(x)在?a,b?连续，且?(?)?a，?(?)?b
通常取x??(t)为单调函数
注： 换元必换限！ 分部积分公式：?考研
baudv?uv??vdu
baba
（7）f(x)在??a,a?连续，则 （8）?0aa?2?0f(x)dxa??af(x)dx??0?a?aa0f(x)偶函数
f(x)奇函数?f(x)dx???f(x)?f(?x)?dx
?4a?xdx?22a ；??aa?xdx?2a22?2a2
（9）设f(x)是连续函数，则
?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx 利用换元法证明
???n?1n?31???????nnnn?22222sinxdx?cosxdx??n?1n?32?0?0????1?nn?23
n偶数n奇数?0sinxdx?2?sinxdx
20?n?n???2?2cosnxdxn偶数?n ?0cosxdx??0?0n奇数?
考研
???4?2sinnxdxn偶数2?2?nn ?0cosxdx??0sinxdx??0?0n奇数?2?04sinxdx?1?
2?2??2sinxdx?
24??02sinxdx??02cosxdx?1 ?0sinxdx?2
????0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx
2（10）????????1e2?x2?2dx?1 概率积分
???0e?x2dx??2
?????e?x2dx??
（11）设f(x)是以T为周期的连续函数，则
?a?Taf(x)dx??f(x)dx??T0T2T?2f(x)dx，其中a为任意常
数
?f(x)dx?n?f(x)dx
考研
nT0T0
（12）三角函数系1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,?,
sinnx,cosnx,?在???,??正交，即任意两个不同函数在
???,??上的积分值等于零
?coskxdx?0?coskxsinlxdx?0
??????
??sinkxdx???0
?coskxcoslxdx?0k?l，k,l为正整数
???2???
??sinkxsinlxdx???0
?coskxdx?? ?
?2sinkxdx????
（13）广义积分（反常积分）
?f(x)dx?lim?f(x)dx??bab???a
?f(x)dx?lim?f(x)dx
bb??a???ca?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
????????c
?f(x)dx?lim?f(x)dx 其中f(c?0)??
cbab?c?a?f(x)dx?lim?f(x)dx 其中f(c?0)??
bbcc?a?ca?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx 其中limf(x)??
bbaacx?c
考研
考研资料数学复习题.doc
