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第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数： f ( x) 偶函数： f ( x)
f ( x) ，图像关于原点对称。 f ( x) ，图像关于 y 轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （ 1）若 lim
α
0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。
β
（ 2）若
α lim α
β c （不为 0），则 与 β是同阶无穷小量
特别地，若
lim
α
β
1
，则 与
α β
是等价无穷小量
lim α
（ 3）若
β
α β
，则
与
是低阶无穷小量
记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限
（ 1） lim
x 0
0 的速度快，谁就趋向于
0 的本领高。
sin x
lim
x
x
x 1
0
sin x lim
sin
使用方法：拼凑
0
lim
1
sin
0 ，一定保证拼凑
sin 后面和分母保持一致
0
（ 2） lim
x
1
1
x
lim (1 x) x
x
0
e
x
1
lim (1
0
)
e
使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
a
5、 lim
x
Pn
0 , n
m
Qm
x X
b0 0, n m
, n m
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Pn x 的最高次幂是 n,Qm x 的最高次幂是
快。 n
m.,只比较最高次幂， 谁的次幂高， 谁的头大， 趋向于无穷大的速度
m ,以相同的比例趋向于无穷大；
n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；
n m ，分子以更快的速
度趋向于无穷大。 7、左右极限
x
左极限： lim
x0
f ( x)
A A
右极限：
limx
f ( x)
x0
lim f ( x)
x x0
A充分必要条件是 lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
x x0
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 连续的定义： lim
x
0
8、连续、间断
y lim f (x0x) f ( x0 ) 0
x 0
或 lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
间断：使得连续定义
lim f ( x) f ( x0 ) x x0
无法成立的三种情况
f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义
lim f ( x)不存在
x
x0
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
记忆方法： 1、右边不存在 9、间断点类型
2、左边不存在
3、左右都存在，但不相等
（ 1）、第二类间断点： （ 2）、第一类间断点：
lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在
x
x0
x x0
lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在
x
x0
x x0
可去间断点：lim f ( x)
x x0
lim f (x)
x x0
跳跃间断点：lim f ( x)
x x0
lim f (x)
x x0
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点” ，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类
间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
（ 1） 最值定理：如果 （ 2）
零点定理：如果 ，使得 f ( )
f ( x) 在 a,b 上连续，则 f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b 0
内至少存在一点
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第三讲
中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数
y f (x) 满足：（ 1）在闭区间 a, b
上连续；（ 2）在开区间（ a,b）内可导；（3）
f (a) f (b) ，
则在 (a,b)内至少存在一点
，使得
记忆方法：脑海里记着一幅图：
a
b
2、 拉格朗日定理
如果 y
f ( x) 满足（ 1）在闭区间 a,b 上连续
（ 2）在开区间（ a,b）内可导；
则在 (a,b)内至少存在一点
，使得 f ( )
f (b) f (a)
b a
脑海里记着一幅图：
a
b
y
f (x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间（
（ * ）推论 1 ：如果函数
a,b）内可导，且
f (x)
0 ，那么
在 (a, b) 内 f ( x) =C 恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为
0。
（*）推论 2：如果
f (x), g( x) 在 a, b
上连续，在开区间
(a,b) 内可导，且 f ( x)
g ( x), x
(a,b) ，
那么 f ( x)
g( x) c
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
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完整word版整理天一专升本高数知识点.共22页.docx
