1. 二元函数的newton迭代法理论分析
设z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，(x0?h,y0?h)为该邻域内任意一点，则有
???f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)??hf(x,y)x?x0?kf(x,y)?y??x?y?y0? ?其中 h?x?x0，k?y?y0 于是方程f(x,y)?0可近似表示为
???f(xk,yk)??hf(x,y)x?xk?kf(x,y)?y??x?y?yk??0 ?即 f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0
同理，设z?g(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，(x0?h,y0?h)为该邻域内任意一点，亦有
????g(x0?h,y0?k)?g(x0,y0)??hg(x,y)x?x0?kg(x,y)y?y0?
?y??x?其中h?x?x0，k?y?y0 于是方程g(x,y)?0可近似表示为
???g(xk,yk)??hg(x,y)x?xk?kg(x,y)?y??x?y?yk??0 ?即 g(xk,yk)?(x?xk)gx(xk,yk)?(y?yk)gy(xk,yk)?0
于是得到方程组
?f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0
kkkxkkkykk?求解这个方程组，当
gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0 时
x?xf(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)y?yg(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)gx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)从而
?f(x?k,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk?x?x?,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)g?fy(xk,yk)g(xk,yk)x(xk,yk)?f(xk,yk)gx?y?y(xk,yk) ?k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)记符号
gfx?fgx(xk,yk)?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)gx(xk,yk) fgy?gfy(xk,yk)?f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)
gxfy?fxgy(xk,yk)?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)
于是(1)式可改写为
???x?xfgy?gfy(xk,yk)k??gxfy?fxgy(xk,yk)?y?y?gfx?fgx(xk,yk) ?k?gxfy?fxgy(xk,yk)
(1) (2)
迭代公式为:
?fgy?gfy(xk,yk)?xk?1?xk?gxfy?fxgy(xk,yk)??gfx?fgx(xk,yk) (3) ?y?k?1?yk?gf?fgxyxy(xk,yk)?通过迭代公式(3)可以迭代出当k?1,2,?时，(xk,yk)的值，当
(xk?1,yk?1)?? (??0为给定的误差控制项)时，原方程组的根即为
(xk,yk)。
2. newton迭代法求解给定的线性方程组 方程组
?f(x,y)?0 ?g(x,y)?0 ?其中
?f(x,y)?arctan(x1/3?y3/2?4)?1 ?g(x,y)?exp(x?2?y?2)?4 ?求解过程如下
1x?2/33y1/2fx?? fy?? 1/33/221/33/2231?(x?y?4)21?(x?y?4)gx??2x?3exp(x?2?y?2) gy??2y?3exp(x?2?y?2)
于是迭代公式为
?fgy?xk?1?xk?gxfy??gfx?y?y?k?k?1gxfy??gfy(xk,yk)?fxgy(xk,yk)?fgx(xk,yk)?fxgy(xk,yk)
为了解出正负轴的两个解，需要对函数f进行变形。
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现
