2024年中考数学压轴题
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，
N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（ ） ①AE＝CF；②EC+CF＝
AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．1个 二、填空题
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为 ．
B．2个
C．3个
D．4个
第3题 第4题
4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 ． 三、解答题
5．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为 ，线段AE、BE、CE之间的数量关系是 ； （2）拓展探究
1
如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段
AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．
，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，
6．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有 个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，
MN最小值为OP﹣OF＝
不难解决问题．
，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5 ∵∠OPB＝90°， ∴OP∥AC
2
∵点O是AB的三等分点， ∴OB＝∴OP＝
×5＝，
，
＝
＝
，
∵⊙O与AC相切于点D， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC， ∴
＝
＝
，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝
﹣1＝
，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选：B．
2．【分析】①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；
②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4③由①知DE＝DF； ④△ECF的面积＝
×CE×CF，如果这是一个定值，则CE?CF是一个定值，又EC+CF＝4
，从而可
；
唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值． 【解答】解：①连接CD．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF．说法正确；
②∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8， ∴AC＝BC＝4
．
由①知AE＝CF，
∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4③由①知△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF．说法正确； ④∵△ECF的面积＝又∵EC+CF＝4
×CE×CF，如果这是一个定值，则CE?CF是一个定值，
．说法正确；
，
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2024年中考数学压轴题(含答案)
