?2f?x?, x??a,b? ? x??a,b??0, §3 三重积分 1.计算下列积分 (1)
????xy?z?dxdydz,其中v=??2,5????3,3???0,1?;
2v(2)
????????0,1?0,?? ?0,?; ,其中v=xcosycoszdxdydz???v??2??2?(3)
dxdydz???v?1?x?y?z?3,其中V是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;
(4)
?x??,其中V是由y=,y=0,z=0及x+z=所围成的区域. ycosx?zdxdydz???v22.试改变下列累次积分的顺序: (1)(2)
1?101dx?1??01dy?0x?y0f?x,y,z?dz; f?x,y,z?dz.
?dx?dy?00x2?y2?dx??01?x2x2dz?1z?x2f?x,y,z?dy
3.计算三重积分: (1) (2)
4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:
22(1) Z=x?y,z=2x?y22222222x?y?z?ry?z?2rz所确定; Zdxdydz,其中V由和 x????v?10dx?1?x20dy?2?x2?y2x?y22z2dz.
?22?,y=x,y=x;
2
?xy??z?(2)???+??=1,?x?0,y?0,z?0,a>0,b>0,c>0)
?ab??c?5.设f（x，y，z）在长方体V=?a,b???c,d???e,f?上可积,若对任何
22?y,z??D=?c,d???e,f?定积分F(y,z)=?af?x,y,z?dx
存在,证明F(y,z)在D上可积,且
b??F?y,z?dydz=???f?x,y,z?dxdydz.
Dv
?x2y2z26.设V=??x,y,z?2?2?2?1?计算下列积分:
abc?(1)
???vx2y2z21?2?2?2dxdydz;
abcx2y2z2??a2b2c2(2)
???evdxdydz.
.
§4 重积分的应用
1.求曲面az=xy包含在圆柱x?y?a内那部分的面积.
2.求锥面Z=x?y被柱面Z=2x所截部分的曲面面积.
3.求下列均匀密度的平面薄板重心:
222
222x2y2(1)半椭圆 2?2?1,y?0;
ab(2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形.
4.求下列均匀密度物体重心:
(1) z?1?X?Y,z?0;
22(2) 由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.
5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:
(1)半径为R的圆关于其切线的转动惯量;
(2)边长为a和b,且夹角为?的平行四边形关于底边b的转动惯量.
6.设球体x?y?z?2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.
7.计算下列引力:
222(1)均匀薄片x?y?R z=0 对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力;
222(2)均匀柱体x?y?a,0?z?h 对于P(0,0,c)(c>h)处单位质量的引力. 8.求曲面
222?x??b?acos??sin? 0???2???y??b?acos??cos? 0???2? ?z?asin??的面积,其中a,b常数,且0?a?b.
9.求螺旋面
?x?rcos? 0?r?a?0???? ?y?rsin? ?z?b??的面积
10.求边长为I的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点
的距离成正比,且在正方形中点处密度为?0.
11.求边长为a密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.
总 练 习 题 1.设
f?x,y?=?为无理数?1, x为有理数?2y, x
?x,y??D=?0,1???0,1?
(1)证明f在D上不可积; (2)说明
?dx?f?x,y?dy存在,并求它的值;
0011(3)说明f在D上先x后y的累次积分不存在.
2.设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly, D的面积为?D,(α,β)为D内任一点.证明:
(1) (2)
???x????y???dxdy?LDxLy?D
122????x??y??dxdy?LxLy. ??D43.试作适当变换,把下列重积分化为单重积分:
(1)
x2?y2?1??f?x22?y2dxdy;
?(2)
??fD?x?y2dxdy,其中D=??x,y?y?x,x?1?;
?(3)
x?y?1??f?x?y?dxdy;
(4)
??f?xy?dxdy,其中D=??x,y?x?y?4x,1?xy?2?.
D
4.计算下列积分: (1)
0?x,y?2???x?y?dxdy; ??sgn?x2(2)
?y2?2dxdy.
?x2?y2?45.求下列函数在所指定区域D内的平均值:
(1) f(x,y)=sinxcosy,D=?x,y?0?x?? ,0?y???;
22?(2)f?x,y,z?=x?y?z,
222222D=?x,y,z?x?y?z?x?y?z?.
?6.设
a1 b1 c1 ?=a2 b2 c2?0
a3 b3 c3求平面
a1x?b1y?c1z??h1
a2x?b2y?c2z??h2
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
