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第六章 近独立粒子的最概然分布
6．1试证明，在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
32?V D(ε) d ε =3?2m?2?2d?
h1证明：由式子（6-2-13），在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
VdPXdPYdPZ-----------------（1） h34?V2PdP-------------（2） 3h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为
上式可以理解为将相空间（?空间）体积元4?VP2dP（体积V，动量球壳4?P2dP）除以相格大小h3而得到的状态数。
P2自由粒子的能量动量关系为??
2m因此 P?2m?， PdP?md?
将上式代入（2）式，即得到在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子
32?V态数为 D(ε) d ε =3?2m?2?2d?------------（3）
h16．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为
2L?m? D(ε) d ε =??d?
h?2??2??hn?n LLh ?dp?dn
L证明：对于一维自由粒子，有p? 由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在p?p?dp范围内的量子态数 dn?212Ldp hp2得p?2m? 再由 ??2m2L2L?m?所以 D???d? ?dn?d2m????d?， 证毕
hh?2??6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为
122?L2 D(ε) d ε =2md?
h'.
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证明：对于二维自由粒子，有px?hhnx,py?ny LLhh?dpx?dnx,dpy?dny
LL 所以，在面积L2内，在px?px?dpx,py?py?dpy内的量子态数为
L2dnxdny＝2dpxdpy
h 换为极坐标，则动量大小在p?p?dp内的量子态数为
L2L2dn?2pdpd??2dp2d?
h2hp2 对φ从0至2π积分，并利用??则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为
2m2?L2 D(ε) d ε =2md?，证毕
h6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为?=CP，试求在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
4?V2?d? (ch)3证明：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
VdPXdPYdPZ-----------------（1） h34?V2PdP-------------（2） 3h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为
在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为?=CP，
代入，可得在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =
4?V2?d?-------------------（3） (ch)36．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布?al?和al必须满足：
'??
?all'l?N， ?N'，
?al'.
.
??a???all'lll'l?E，
其中E为系统总能量。又上面各式可得：
??all'l?0 （1） ?0 （2）
l??alll???a对于波色子：
?0???l'?al'?0 （3）
l分布?al?和al的微观状态数分别为：
'????l?al?1?!??l'?al'?1?!'??? ???''
??a!??1!??a??1!llllll系统的微观状态数 ?system????
在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使?system极大的分布，此时必有?ln?system?0
而
'ln?system?ln???'??ln??l?al?1?!?lnal!?ln??l?1??ln?l'?al'?1!?lnal'!?ln?l'?1l'' 当 ?l??1,al??1,?l??1,al??1 时
????????ln?system????l?al?ln??l?al??allnal??lln?l??l'?al'ln?l'?al'?al'lnal'??l'ln?l'l?????? 则由?ln?system?0 得
???ln??ll?al??lnal??al?ln?l'?al'?lnal'?al'?0 （4）
?????用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得
???ln??ll?al??lnal?????l??al?ln?l'?al'?lnal'??'???l'?al'?0
'?????根据拉氏乘子法原理，上式中每一个?al及?al的系数都必须为零，即
ln??l?al??lnal?????l＝0 ln?l'?al'?lnal'??'???l'＝0
所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为
??'.
.
al=
对于费米子
?le?????l ， al=
′′
?l'''
e?????l?l!?l'!'??? ???''
??a!??1!?l?1?!llal?ll''''当?l??1,al??1,?l??1,al??1,??l?al???1,?l?al??1,时
??ln?system?ln???'?????l?al?ln??l?al??allnal??lln?l??l'?al'ln?l'?al'?al'lnal'??l'ln?l'l???????? 用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为
al=
?le?????l ， al′=′?l'??'???l'e
以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统
由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。
'.
热力学统计物理 课后习题 答案 (3)
