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cosx，求y?。 xcosx(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx?cosxxx 解：y??(2)??( )??2xln2??2ln2?22xxxsinx2sinxsinx2?sinx，求y? 解：y??(e)??(sinx)??ecosx?2xcosx2 0807.设y?e其他：
y?2x?0801.设
y?xex2，求
y? 解：y??(x)?ex?x(ex)??ex?2x2ex2222
0707.设
y?esinx?x2，求
解：
y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x
0701.设
y?lnx?cosex，求
解：
y??(lnx)??sinex.(ex)??1?exsinex x（三）积分计算：（2小题，共22分） 11dx???d() 2?xx11coscosxdx 解：xdx??cos1d(1)??sin1?c
计算??x2?xxxx211sinsinxdx??sin1d(1)?cos1?c xdx． 解： 0707.计算?x2?xx?x2x凑微分类型1：??ee10701计算?2dx． 解： ?2dx???exd()??ex?c
xxx1dx?2??dx 凑微分类型2：??x.计算
1x1x11?cosx0807.计算
??xsinxdx． 解： ?cosxxexdx． 解：?xsinxxxdx?2?cosxdx?2sinx?c
dx?2?sinxdx??2cosx?c
x0801.计算
xdx 解：?exdx?2?exdx?2e?c 11?dx??dlnx?， ?x??xdx???d(a?lnx) 11dlnx1dx 解：?dx????du?ln|lnx|?c 计算?xlnxxlnxlnxuee2?lnxe2?lnxe152dx 解： ?dx??(2?lnx)d(2?lnx)?(2?lnx)? .计算?111xx221凑微分类型3：5 定积分计算题，分部积分法 精品 6
学 海 无 涯 11a?11xa?11aa?1aa?1类型1：xlnxdx?lnxdx?xlnx?xdx?lnx?x?c ???2a?1a?1a?1a?1(a?1)e112122计算 解： a?1， ?xlnxdx??lnxdx?xlnx?x?c xlnxdx?1224e1ex2x2e1?e22?1xlnxdx?2?1lnxdx?(2lnx?4)1?4 eelnxdx?(xlnx?x)?(e?e)?(0?1)?1 ?11elnxlnx111计算? 解： ， dxdx??lnxd()??lnx??c a??2?x2?1x2xxxelnxe1lnx1e2 dx??lnxd()?(??)?1??1x2?1xxx1eelnxlnx1dx 解：a??，?dx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c 计算?12xxelnxeedx=2lnxdx?(2xlnx?4x)??2e?4 ?1x?110807
?e1e33332e2242e224 2xlnxdx??lnxd x?(xlnx?x)?e?19313991313e2311e3?1xlnxdx?3?1lnxdx?(3xlnx?9x)1?9e?9
11ax1axaxax 类型2 ?xedx??xd(e)?xe?2e?c aaa11112x12x11212x2xxedx?xde?(xe?e)?e? ?02?00424411?x?x?x?x1xedx??xde?(?xe?e)??2e?1?1 ?0?001111?2x1?2x13?21?2x?2xxedx??xde?(?xe?e)??e? ?02?00244411xxx1x（0801考题） ?0xedx??0xde?(xe?e)0?1 1111类型3： ?xsinaxdx??xcosax??cosaxdx??xcosax?2sinax?c aaaa1111 ?xcosaxdx?xsinax??sinaxdx?xsinax?2cosax?c aaaa0707
2?xsinxdx???xdcosx?(?xcosx?sinx)2?1?0?1 0?????02xcosxdx??02xdsinx?(xsinx?cosx)2?2?1
01111xsin2xdx??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2x?c ??222420?20??精品 7
??20?xsin2xdx??1?2xdcos2x?(?1xcos2x?sin2x)2???0??
2024440?学 海 无 涯
?1???11112222xcos2xdx?xsin2x|?sin2xdx?cos2x|?? 00?022?042 四、应用题（1题，16分）
类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足
h2?r2?l2
222圆柱体的体积公式为 V??rh?π(l?h)h
22求导并令 V??π(l?3h)?0
得hl 36l，并由此解出r?l． 3363l，高h?l时，圆柱体的体积最大． 即当底半径r?33?类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V表面积为S??.r2.h,h?V?.r2
2V r2VV4VS??4πr?2， 由S??0得r?3，此时h?2r?32ππr?2πr2?2πrh?2πr2??3V2π与高h?2r 时可使用料最省。
。
由实际问题可知，当底半径r一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为
r，高为
h，则无盖圆柱形容器表面积为 S?πr2?2πrh?πr2?2Vr，令
S??2πr?2VV3?0， 得 r?,h?r， πr2?3Vπ与高h由实际问题可知，当底半径r?r 时可使用料最省。
Vx22-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题） 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为
表面积 令
y，由已知x2h?V?32，h?，
y?x2?4xh?x2?4Vx，
4VV3?0h?x?2V?64x?4,，得， 此时=2 22xx由实际问题可知，x?4是函数的极小值点，所以当x?4，h?2时用料最省。 y??2x?欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线曲线
精品
y2?kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． y2?kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L?(x?a)2?y2?(x?a)2?kx
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L??2(x?a)?k?0， 2x?2a?k
23-1在抛物线y?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．
2解：设所求点P（x，y），则满足 y?4x，点P 到点A 的距离之平方为
L?(x?3)2?y2?(x?3)2?4x
令L??2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点， 当x?1时，y?2或y??2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）
3-2求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． y2?2x上的点到点A（2，0） 的距离之平方为L?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x
解：曲线
令L?即曲线
?2(x?2)?2?0，得x?1， 由此y2?2x?2， y??2 y?x2上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。
y?x2上的点到点A（0，2）的距离公式为 d?x2?(y?2)2?y2?2x上的点（1，2）和（1，?2）到点A（2，0）的距离最短。
08074 求曲线
解： 曲线
y?(y?2)2
d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， 222 d?y?(y?2) (d)??1?2(y?2)?2y?3
63，并由此解出x??，
2263632,）和点（?,）到点A（0，2）的距离最短 即曲线y?x上的点（
2222令
(d2)??0得y?
精品 9
(2020年整理)电大高等数学基础考试答案完整版(整理).doc
