P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=.
(2)D=C,P(D)=1-P(C)=1-=,X~B(100,,即X服从二项分布, 所以期望E(X)=100×=20. 考点二 正态分布
1.(2015·湖南,7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)= 6,
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 4. A.2 386
B.2 718
C.3 413
D.4 772
解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)= 6, 1
∴P(0≤X≤1)=× 6= 3,故S≈ 3.
2∴落在阴影部分中点的个数x估计值为∴x=10 000× 3=3 413,故选C. 答案 C
2.(2015·山东,8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=%,
=(古典概型),
10 0001
xSP(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=%.) A.%
B.%
C.%
2D.%
=错误!
解析 由题意,知P(3<ξ<6)==%. 答案 B
P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)
3.(2014·新课标全国Ⅰ,18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2. (ⅰ)利用该正态分布,求P (ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数.利用(ⅰ)的结果,求E(X). 附:150≈. 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 2 P(μ-2σ 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为 - x=170×+180×+190×+200×+210×+220×+230×=200, s2=(-30)2×+(-20)2×+(-10)2×+0×+102×+202×+302×=150. (2)(ⅰ)由(1)知,Z~N(200,150),从而 P (ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品的质量指标值位于区间,的概率为 6,依题意知X~ B(100, 6),所以E(X)=100× 6=. 4.(2013·湖北,20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502) 的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. (1)求p0的值; (参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ (2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆,若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆? 解 (1)由于随机变量X服从正态分布 N(800,502), 故有μ=800,σ=50,P(700 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800 =+P(700 (2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1 600x+2 400y. 依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由(1)知,p0=P(X≤900), 故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900. 于是问题等价于求满足约束条件 ?y≤x+7, ?36x+60y≥900, ?x,y≥0,x,y∈N, 且使目标函数z=1 600x+2 400y达到最小的x,y. 作可行域如图阴影部分所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,当直线z=1 600x+2 400y经过可行域的点P时,直线z=1 600x+ 2 400y在y轴上截距型车12辆. x+y≤21, z2 400 最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B
五年高考真题 10.5二项分布与正态分布
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