第五节 二项分布与正态分布
考点一 条件概率与相互独立事件的概率
1.(2015·新课标全国Ⅰ,4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.
B.0.432
C.
D.
解析 该同学通过测试的概率为p=×+C12××=. 答案 A
2.(2014·新课标全国Ⅱ,5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.
B.0.75
C.
D.
解析 由条件概率可得所求概率为错误!=,故选A. 答案 A
3.(2011·湖南,15)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则 (1)P(A)=________. (2)P(B|A)=________.
解析 圆的半径为1,正方形的边长为2,∴圆的面积为π,正方形面积为2,扇形面积为
π2
.故P(A)=, 4π
1
2
P(A∩B)π1
P(B|A)===.
P(A)24
π答案 (1)
21 (2) π4
4.(2014·陕西,19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) 概率 作物市场价格(元/kg) 概率 300 6 500 10 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于 2 000元的概率.
解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”,由题设知P(A)=,P(B)=, 因为利润=产量×市场价格-成本, 所以X所有可能的取值为
500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.
P(X=4 000)=P(A)P(B)=(1-×(1-=,
P(X=2 000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-×+×(1-=, P(X=800)=P(A)P(B)=×=, 所以X的分布列为
X P 4 000 2 000 800 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3), 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,
P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=+=(i=1,2,3), 3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)==;
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3××=,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为+=.
5.(2013·辽宁,19)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类34
题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用
55
X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
解 (1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A=“张同学所取的3道题都是甲类题”. C316
因为P(A)=3=,
C1065
所以P(A)=1-P(A)=.
6
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3. ?3?0?2?214
P(X=0)=C·??·??·=;
5125?5??5?
0
2
?3?1?2?110?3?0?2?2428
P(X=1)=C·??·??·+C2??·??·=;
55125?5??5??5??5?
1
2
?3?2?2?011?3?1?2?1457
P(X=2)=C·??·??·+C2??·??·=;
55125?5??5??5??5?
2
2
?3?2?2?0436
P(X=3)=C·??·??·=.
5125?5??5?
2
2
所以X的分布列为:
X P 0 1 2 3 4285736 1251251251254285736所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
125125125125
6.(2012·山东,19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率32为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,43每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率;
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).
解 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命32
中”为事件D,由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=BCD+BCD+
43
BCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(BC D+B C D+BCD)=
P(B CD)+P(BCD)+P(BCD)
2??2?3?
1-1-?×??=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)=×?
3??3?4?3?2?2??3??2?27?
+?1-?××?1-?+?1-?×?1-?×=.
4?3?3??4??3?336?(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得
P(X=0)=P(BCD)
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 2??2?13?
=(1-)×?1-?×?1-?=,
3??3?364?
P(X=1)=P(B C D) =P(B)P(C)P(D) 2??2?13?
=×?1-?×?1-?=,
3??3?124?
P(X=2)=P(B C D+B C D)
=P(BCD)+P(BCD) 3?2?2??
=?1-?××?1-?+
4?3?3??3??2?21?
?1-?×?1-?×=,
4??3?39?
P(X=3)=P(BCD+B CD) =P(BCD)+P(BCD)
2?3?2?2132?
=××?1-?+×?1-?×=,
3?4?3?3343?
P(X=4)=P(BCD)=?1-?××=, P(X=5)=P(BCD)=××=. 故X的分布列为
3
4232133
??3?4?
232319
X P 0 1 361 1 122 1 93 4 5 111 39311111141所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
3612939312
7.(2011·大纲全国,18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.
解 设A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种; D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=,P(B)=,C=A+B,
五年高考真题 10.5二项分布与正态分布
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