第五节 二项分布与正态分布
考点一 条件概率与相互独立事件的概率
1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．
B．0.432
C．
D．
解析 该同学通过测试的概率为p＝×＋C12××＝. 答案 A
2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．
B．0.75
C．
D．
解析 由条件概率可得所求概率为错误!＝，故选A. 答案 A
3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________.
解析 圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为
π2
.故P(A)＝， 4π
1
2
P（A∩B）π1
P(B|A)＝＝＝.
P（A）24
π答案 (1)
21 (2) π4
4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 概率 作物市场价格(元/kg) 概率 300 6 500 10 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于 2 000元的概率．
解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”，由题设知P(A)＝，P(B)＝， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－×(1－＝，
P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－×＋×(1－＝， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以X的分布列为
X P 4 000 2 000 800 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)， 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝＋＝(i＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝＝；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3××＝，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为＋＝.
5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类34
题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用
55
X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． C316
因为P(A)＝3＝，
C1065
所以P(A)＝1－P(A)＝.
6
(2)X所有的可能取值为0，1，2，3. ?3?0?2?214
P(X＝0)＝C·??·??·＝；
5125?5??5?
0
2
?3?1?2?110?3?0?2?2428
P(X＝1)＝C·??·??·＋C2??·??·＝；
55125?5??5??5??5?
1
2
?3?2?2?011?3?1?2?1457
P(X＝2)＝C·??·??·＋C2??·??·＝；
55125?5??5??5??5?
2
2
?3?2?2?0436
P(X＝3)＝C·??·??·＝.
5125?5??5?
2
2
所以X的分布列为：
X P 0 1 2 3 4285736 1251251251254285736所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
125125125125
6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率32为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，43每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．
解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命32
中”为事件D，由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝BCD＋BCD＋
43
BCD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(BC D＋B C D＋BCD)＝
P(B CD)＋P(BCD)＋P(BCD)
2??2?3?
1－1－?×??＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝×?
3??3?4?3?2?2??3??2?27?
＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝.
4?3?3??4??3?336?(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P(BCD)
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] 2??2?13?
＝(1－)×?1－?×?1－?＝，
3??3?364?
P(X＝1)＝P(B C D) ＝P(B)P(C)P(D) 2??2?13?
＝×?1－?×?1－?＝，
3??3?124?
P(X＝2)＝P(B C D＋B C D)
＝P(BCD)＋P(BCD) 3?2?2??
＝?1－?××?1－?＋
4?3?3??3??2?21?
?1－?×?1－?×＝，
4??3?39?
P(X＝3)＝P(BCD＋B CD) ＝P(BCD)＋P(BCD)
2?3?2?2132?
＝××?1－?＋×?1－?×＝，
3?4?3?3343?
P(X＝4)＝P(BCD)＝?1－?××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列为
3
4232133
??3?4?
232319
X P 0 1 361 1 122 1 93 4 5 111 39311111141所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
3612939312
7．(2011·大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
解 设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，
五年高考真题 10.5二项分布与正态分布
