2024-2024年高三数学二轮复习 专题辅导(2)分类讨论精品教学案
【考情分析】
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想,它在人的思维发展中有着重要的作用,因此在近几年的高考试题中,他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容,预测2013年高考对本专题的考察为:将有一道中档或中档偏上的题目,其求解思路直接依赖于分类讨论,特别关注以下方面:涉及指数、对数底的讨论,含参数的一元二次不等式、等比数列求和,由Sn求an等。 【知识归纳】
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:
(1)涉及的数学概念是分类讨论的;如绝对值|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有:直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类;
(2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有,圆锥曲线的统一定义中图形的分类等;
(3)由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些应用问题也需分类讨论; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
(5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。
2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究;
3.分类原则:(1)对所讨论的全域分类要“即不重复,也不遗漏”(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行(3)对多级讨论,应逐级进行,不能越级;
4.分类方法:(1)概念和性质是分类的依据(2)按区域(定义域或值域)进行分类是基本方法(3)不定因素(条件或结论不唯一,数值大小的不确定,图形位置的不确定)是分类的突破口(4)二分发是
分类讨论的利器(4)层次分明是分类讨论的基本要求;
5.讨论的基本步骤:(1)明确讨论的对象:即对哪个参数进行讨论;(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级);(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决。(4)归纳总结:将各类情况总结归纳;
6.简化和避免分类讨论的优化策略:(1)直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论;(2)变更主元。如分离参数、变参置换,构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论;(3)合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论;(4)数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。 【考点例析】
题型1:集合中分类讨论问题
例1.(2012高考真题全国卷理2)已知集合A={1.3. m},B={1,m} ,AA 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 解析:B;因为A?B?A,所以B?A,所以m?3或m?满足A?B?A.若m?B=A, 则m=( )
m.若m?3,则A?{1,3,3},B?{1,3},
m,解得m?0或m?1.若m?0,则A?{1,3,0},B?{1,3,0},满足A?B?A.
若m?1,A?{1,3,1},B?{1,1}显然不成立,综上m?0或m?3,选B.
点评:该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:无序性、互异性、确定性。
例2.(2012高考真题新课标理1)已知集合A?{1,2,3,4,5},B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A};则B中所含元素的个数为( )
(A)3 (B)6 (C)? (D)??
解析:D;要使x?y?A,当x?5时,y可是1,2,3,4.当x?4时,y可是1,2,3.当x?3时,
y可是1,2.当x?2时,y可是1,综上共有10个,选D.
点评:把握含参数问题参数的分类标准最为关键,像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。
题型2:函数、方程中分类讨论问题
例3.(2012高考真题四川理5)函数y?ax?1(a?0,a?1)的图象可能是( ) a
解析:D;当a?1时单调递增,?确;当0?a?1时单调递减,?11?0,故A不正确;因为y?ax?恒不过点(1,1),所以B不正aa1?0,故C不正确 ;D正确. a点评:含有参数的函数的综合问题(本例是函数图像)历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴,依此来展开有条理性的分类讨论。
例4.(2012高考真题安徽理19)设f(x)?ae?(I)求f(x)在[0,??)上的最小值;
(II)设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?xx1?b(a?0)。 aex3x;求a,b的值。 211a2t2?1?b?y??a?2?解析:(I)设t?e(t?1);则y?at?, 2atatat1?b在t?1上是增函数, at1得:当t?1(x?0)时,f(x)的最小值为a??b。
a1②当0?a?1时,y?at??b?2?b,
at1x当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时,f(x)的最小值为b?2。
a11xx(II)f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x,
aeae①当a?1时,y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2??由题意得:?。 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?点评:本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类讨论思想,代
数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。 题型3:解析几何中的分类讨论问题
x2y2??1?x,y??x,y?l32例5.(2011山东理22)(山东理22) 已知动直线与椭圆C: 交于P11、Q226S两不同点,且△OPQ的面积?OPQ=2,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明
x12?x22和
y12?y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|?|PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得存在,请说明理由.
S?ODE?S?ODG?S?OEG?62?若存在,判断△DEG的形状;若不
(I)解:(1)当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,所以
x2?x1,y2??y1.
x12y12??1P(x1,y1)2因为在椭圆上,因此3
S?OPQ?66,|x1|?|y1|?.2所以2
①
又因为 ②
由①、②得
|x1|?6,|y1|?1.22x12?x2?3,y12?y2?2,2此时
x2y2??1y?kx?m,?0ll32 (2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为由题意知m,将其代入,
222(2?3k)x?6kmx?3(m?2)?0, 得
2222??36km?12(2?3k)(m?2)?0,即3k2?2?m2 其中
…………(*)
6km3(m2?2)x1?x2??,x1x2?,222?3k2?3k又
263k2?2?m2|PQ|?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?,22?3k所以
222d?因为点O到直线l的距离为所以
|m|1?k2,
S?OPQ22221|m|2263k?2?m6|m|3k?2?m11?k????|PQ|?d?222?3k1?k22?3k22
又
S?OPQ?6,222整理得3k?2?2m,且符合(*)式,
2226km23(m2?2)x?x?(x1?x2)?2x1x2?(?)?2??3,222?3k2?3k此时
21222222y12?y2?(3?x12)?(3?x2)?4?(x12?x2)?2.333
综上所述,
22x12?x2?3;y12?y2?2,结论成立。
(II)解法一:
(1)当直线l的斜率不存在时,由(I)知
|OM|?|x1|?6,|PQ|?2|y1|?2,2因此
|OM|?|PQ?|6?2?6.2
x1?x23k?,l22m (2)当直线的斜率存在时,由(I)知
y1?y2x1?x23k2?3k2?2m2??k()?m???m??,222m2mmx1?x22y1?y229k216m2?2112|OM|?()?()????(3?),2222224mm4m2m222(2m2?1)12224(3k?2?m)|PQ|?(1?k)??2(2?),(2?3k2)2m2m2
所以
11)(2?)m2m2113?2?2?2111mm)2?25.|OM|2?|PQ|2??(3?2)?2?(2?2)?(224 mm
?(3?|OM|?|PQ|?所以
5113?2?2?2,即m??22,当且仅当mm时,等号成立.
5.2综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二: 因为
4|OM|2?|PQ|2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x1)2?(y2?y1)222?2[(x12?x2)?(y12?y2)]
?10.
4|OM|2?|PQ|2102|OM|?|PQ|???5.25所以
5|OM|?|PQ|?,2当且仅当2|OM|?|PQ|?5时等号成立。 即