数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程

由天下分享时间：2025/3/24 17:56:17 加入收藏我要投稿点赞

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程

一、例题例1 求函数f????

例2 当实数x，y满足x2??y?1??1时，不等式x?y?m?0恒成立，求实数m的取值范围.

例3 过直线l:x?5上一动点M作圆C:x2?y2?16的两条切线，切点分别为T1，

T2，试求?MTT12的垂心H的轨迹方程.

23?cos????0，???的值域. ?2?sin?yT1HOl: x=5M

xT2二、练习题

l2:mx?y?0与l3:2x?3my?4?0能围成一个三角形，1. 若直线l1:4x?y?4?0，

则实数m的取值范围是_________________________.

2. 方程|x|?1?1??y?1?表示的曲线是_______________________.

3. 以两圆C1:x2?y2?4x?y?1?0与C2:x2?y2?2x?2y?1?0的公共弦为直径的圆的方程为__________________________.

4. 已知当a?R且a?1时，圆x2?y2?2ax?2(a?2)y?2?0总与直线l相切，则直线l的方程是______________________.

0)且5. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点(2，2其上至少存在两个有理点的直线的条数为__________.

6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点

54到直线l:y?x?的距离的最小值是___________.

7. 已知矩形ABCD的顶点C的坐标为(4,4)，顶点A在圆O:x2?y2?9(x,y?0)

上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴，y轴，求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标.

yDACBxO8. 已知直线l:y?x?b与圆C:x2?(y?1)2?1相交于A，B两点，点P在l上，且|PA|?|PB|?2.当b变化时，求点P的轨迹方程.

9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且

|OB|?|OD|?6.

（1）求证：|OA|?|OC|为定值；

（2）当点A在半圆M:(x?2)2?y2?4(2?x?4) 上运动时，求点C的轨迹.

yBCxDAOM10. 直线l与O相离，点P为l上任意一点，过点P引O的两条切线，切点分

别为A，B，求证：直线AB过定点.

lAPOB数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程参考答案

?12?1.?mm??1，?，，4?.

63??2.两个半圆. 6123.x2?y2?x?y?1?0.

554.x?y?0.

5.答案：1.

分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法证明斜率必．．．为零.假设斜率不为零，设点A(p1，q1)与B(p2，q2)为该直线上的两个不同的有理点，则有

q1q?q?21，

p1?2p2?p1注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零. 注：此题属竞赛级别. 6.答案：34. 85分析：平面上的整点(a，b)到直线l:y?54x?的距离 35d(a,b)?|25a?15b?12|252?152?|5(5a?3b)?12|，

534因5(5a?3b)为5的倍数，故当且仅当5(5a?3b)??10，即5a?3b??2，亦即（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点， a?3k?2，b?5k?4（k?Z）取a?b??1便可）时，d(a,b)取最小值. 注：此题属竞赛级别.

?4?24?2??4?24?2?7.当且仅当点A的坐标为??2，2??或??2，2??时，矩形ABCD面

????积最小且最小值为

7. 28.答案：点P的轨迹方程为x2?(y?1)2?3(?2?1?y?x?2?1).

分析：易见点P在圆C的外部，即点P在点A、B的同侧.否则，若点P在线段AB

?|PA|?|PB|??2r?上，则2?|PA|?|PB|???????12???2?（这里r为圆C的半径），矛盾.

利用切割线定理，设直线PT与圆C相切于点T，则有|PT|2?|PA|?|PB|?2，

于是|PC|2?|PT|2?r2?2?1?3，这表明点P在以C(0,?1)为圆心，3为半径的圆上，但不能说

22yOABC-1PlxTP这个圆就是点P的轨迹，因为点P还有其他约束

13.条件，即点P在直线l上，而l是要与圆C相交

的.

9.（1）（从几何关系入手）设点E为菱形ABCD的对角线的交点，则