新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学
案新人教B版必修第一册
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系．
教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系． 教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.
【情境导学】(教师独具内容)
在二次函数y＝x－2x－3中令y＝0得x－2x－3＝0，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？
【知识导学】
知识点一 函数零点的概念
01函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即□02f(α)＝0，则称α(1)一般地，如果□为函数y＝f(x)的零点．
03(α，0)是函数图像与x轴的公共点． (2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是□知识点二 二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)的零点
2201两个元素□02x1，x2，且□03x1，(1)当Δ＝b－4ac>0时，方程ax＋bx＋c＝0的解集中有□2
2
2
04两个零点，f(x)的图像与x轴有□05两个公共点□06(x1,0)，(x2,0)． x2是f(x)的□2207只有一个元素□08x0，且□09x0(2)当Δ＝b－4ac＝0时，方程ax＋bx＋c＝0的解集中□11一个公共点． 是f(x)10□唯一的零点，f(x)的图像与x轴有□2213无零点，f(x)(3)当Δ＝b－4ac<0时，方程ax＋bx＋c＝012□没有实数根，此时f(x)□14没有公共点． 的图像与x轴□
【新知拓展】
1．函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．( )
(3)不论实数a取什么值，不等式ax＋bx＋c≥0的解集一定与函数f(x)＝ax＋bx＋c的零点有关．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做
(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是( )
2
2
(2)函数f(x)＝x－5x的零点是________． 答案 (1)D (2)0和5
题型一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点． (1)f(x)＝x＋7x＋6；
2
2
x2＋4x－12
(2)f(x)＝. x－2
[解] (1)解方程x＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
2
x2＋4x－12
(2)解方程＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
x－2
金版点睛
求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法： (1)令f(x)＝0，方程f(x)＝0的根就是函数的零点；
(2)画出函数f(x)的图像，图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
[跟踪训练1] (1)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数
f(x)其余的零点；
(2)求下列函数的零点： ①y＝－x－x＋20； ②y＝(x－2)(x－3x＋2)； ③y＝x－7x＋6； ④f(x)＝x－1.
解 (1)由题意，知f(－3)＝0， 即(－3)－3－a＝0，a＝6， ∴f(x)＝x＋x－6.
解方程x＋x－6＝0，得x＝－3或2. ∴函数f(x)其余的零点是2. (2)①令y＝0，即－x－x＋20＝0，
解得x1＝－5，x2＝4，所以所求函数的零点为－5,4.
②令y＝0，即(x－2)(x－3x＋2)＝0，(x＋2)(x－2)·(x－1)(x－2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝2，x3＝1，x4＝2，所以所求函数的零点为－2，2，1,2. ③因为x－7x＋6＝(x－x)－(6x－6)
＝x(x－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)
＝(x－1)(x＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，所以由x－7x＋6＝0，得x1＝－3，x2＝1，
2
3
2
3
3
2
22
222
432
2
2
x3＝2，所以所求函数的零点为－3,1,2.
④由于f(x)＝x－1＝(x＋1)(x＋1)(x－1)， 所以方程x－1＝0的实数根是x1＝－1，x2＝1. 故函数的零点是－1,1.
题型二 函数零点的个数问题
??x＋2，x<0，
例2 函数f(x)＝?2
?x－1，x>0?
4
4
2
的零点个数是( )
B．1 D．3
2
A．0 C．2
[解析] 解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
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