专题二 万能答题模板——助你解题得高分
数学解答题题型解读
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．
针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分．
模板1 三角函数的性质问题
π1
x＋?，g(x)＝1＋sin 2x. 例1 已知函数f(x)＝cos2??12?2
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
审题破题 (1)由x＝x0是y＝f(x)的对称轴可得g(x0)取到f(x)的最值；(2)将h(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
1?2x＋π??， 解 (1)f(x)＝?1＋cos6???2?
因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴， π
所以2x0＋＝kπ (k∈Z)，
6π
即2x0＝kπ－ (k∈Z)．
6
π11
kπ－?，k∈Z. 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin?6?22?π113－?＝1－＝. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin?2?6?441π15
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin ＝1＋＝.
2644(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
π11
2x＋?]＋1＋sin 2x ＝[1＋cos?6??22
1331
＝?cos 2x＋sin 2x?＋ 2?22?2
π31
2x＋?＋. ＝sin?3?22?πππ
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，
2325ππ
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
1212
π31
2x＋?＋是增函数． 函数h(x)＝sin?3?22?故函数h(x)的单调递增区间为
?kπ－5π，kπ＋π? (k∈Z)．
1212??
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；
第二步：由y＝sin x、y＝cos x的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
π
x＋?－3sin2x＋sin xcos x＋1. 跟踪训练1 已知函数f(x)＝2cos x·sin??3?(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
13解 f(x)＝2cos x?sin x＋cos x?－3sin2x＋sin x·cos x＋1
2?2?＝2sin xcos x＋3(cos2x－sin2x)＋1 ＝sin 2x＋3cos 2x＋1
π
2x＋?＋1. ＝2sin?3??(1)函数f(x)的最小正周期为
2π
＝π. 2
π
2x＋?≤1， (2)∵－1≤sin?3??π
2x＋?＋1≤3. ∴－1≤2sin?3??
πππ
∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；
3212ππ5π
当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.
3212
πππ
(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
2325ππ
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
1212
5ππ
－＋kπ，＋kπ? (k∈Z)． ∴函数f(x)的单调递增区间为?12?12?模板2 三角函数与向量、三角形
例2 在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3(tan A－tan B)＝1
＋tan A·tan B，又已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，求|3m－2n|的取值范围．
审题破题 由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角的三角函数形式．
解 因为3(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，
tan A－tan B33所以＝，即tan(A－B)＝，
31＋tan A·tan B3
ππ
又△ABC为锐角三角形，则0 22 πππ所以－ 2B＋?. ＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin?6?? πππ 又0 262 ππππ5π所以 π1 2B＋?∈?，1?，所以|3m－2n|2∈(1,7)． 所以sin?6??2??故|3m－2n|的取值范围是(1，7)． 第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围； 第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题； 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误． 跟踪训练2 已知a＝(2cos x＋23sin x,1)，b＝(y，cos x)，且a∥b. (1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期； A?(2)记f(x)的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f??2?＝M，且a＝2，求bc的最大值．
2020高考数学第二轮专题复习：专题二
