物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 3.1.3 导数的几何意义
【选题明细表】 知识点、方法 函数的平均变化率 函数的导数 导数的几何意义 导数在物理中的应用 综合问题 题号 1,2,6 3,7 4,9,12,13 5 8,10,11 【基础巩固】 1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D ) (A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx
(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)
解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0), 所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.
2
2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )
2
(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)](m/s)
22
(C)[5(Δt)+Δt](m/s) (D)5(Δt)(m/s)
222
解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)-(1-3+3)=(Δt)+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是
==Δt+5.故选A.
3.(2024·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则( B )
(A)与x0,h都有关
(B)仅与x0有关,而与h无关 (C)仅与h有关,而与x0无关 (D)与x0,h均无关
解析:因为f′(x0)=,
所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.
2
4.(2024·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x在点(1,f(1))处的切线方程为( A ) (A)y=5x-1 (B)y=-5x+1
(C)y=x+1 (D)y=-x-1
物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.
2
5.(2024·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D ) (A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6
解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6, 即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.
6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.
解析:=
==-1.
答案:-1
7.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是.
解析:=
=
=-3+
=-3f′(3)+
=-3f′(3)+2 =8. 答案:8
2
8.已知直线l1为曲线y=x+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
解:(1)y′=
物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。=
=(2x+Δx+1)=2x+1. y′
x=1
=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
22
设直线l2过曲线y=x+x-2上的点B(b,b+b-2),
2
则l2的方程为y=(2b+1)x-b-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).
所以所求三角形的面积S=××-=.
【能力提升】 2
9.(2024·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是
[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )
(A)[-1,-] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[,1]
解析:设点P(x0,y0),则
f′(x0)=
=
2024_2024学年高中数学第三章导数及其应用3-1变化率与导数课时作业新人教A版选修1_1
