函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|， 1 点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。 点P（x,y）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离： X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0) |AB|?|x2?x1| Y轴上两点为C(0,y1)、D(0,y2) |CD|x2?y2 ?|y2?y1| 22(x?x)?(y?y)2121已知A(x1,y1)、B(x2,y2) AB|= 9、中点坐标公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2) M为AB的中点,则：M=(10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， x2?x1y?y1 , 2) 22将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。 2 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减 单调增：y随x的增大而增大 单调减：y随x的增大而减小 口诀：“同增异减”， 注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之对应时。 8、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 9、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 3 一次函数图象和性质 【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数 当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 说明： ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数 2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k?0) 3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-bk，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减） 5、必过点：（0，b）和（-bk，0）：理由如下：y=kx+b中， ⑴当x=o,时，y= 所以，该函数经过（ ， ）点 ⑵当y=o,时，x= 所以，该函数经过（ ， ）点 所以，一次函数y?kx?b的图象是必经过（?bk，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。 6、一次函数图像的画法：两点法 ① 计算必过点（0，b）和（-bk，0） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线） 7、增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. 8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. 9、截点（与b有关）：（直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距） ①当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）； 4 ②当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴） 10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；口诀“正上” 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 口诀“负下” 例如：y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习：y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位 注：一次函数正上移，b负下移y=kx+b 图像的平移，只与b有关，将y=kx的图像平移，平移方向： b11、一次函数y?kx?b的图象与性质 b>0 b<0 b=0（正比例函数） 经过：第一、二、三象限 经过：第一、三、四象限经过：第一、三象限 不经过：第四象限 不经过：第二象限 不经过：第二、四象限 k>0 增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 不经过：第三象限 不经过：第一象限 不经过：第一、三象限 k<0 增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减 必过点：经过（?bk，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0） 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：l1：y?k1x?b1l2：y?k2x?b2 ①平行：当k1?k2时，l1//l2；当 b1?b2?b时，l1与l2交于(0，b)点。y?k1?b1②相交：将两直线方程联立成一个方程组，{y?k2?b2 ，解得结果，即为交点。 13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 14、 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。 15、【思想方法】数形结合 。巩固练习：试试画出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的图像 5 3）若直线
中考数学函数知识点
