2013年北约自主招生数学试题与答案
2013-03-16
(时间90分钟,满分120分)
g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0
???7a?b?c?d?e?0 ??2a?3b?2c?d?0??4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组:?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3),有非0有理数解. (4)(5)由(1)+(3)得:11a?b?c?d?0 (6) 由(6)+(2)得:11a?3b?c?0 (7) 由(6)+(4)得:13a?4b?3c?0 (8) 由(7)?(5)得:a?0,代入(7)、(8)得:b?c?0,代入(1)、(2)知:d?e?0.
,,,,e于是知a?b?c?d?e?0,与abcd不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的
有理系数多项式g(x),其两根分别为2和1?32. 综上所述知,以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
2.在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?
A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3.已知x?2y?5,y?2x?5,求x?2xy?y的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
223223
4.数列?an?满足a1?1,前n项和为Sn,Sn?1?4an?2,求a2013. A. 3019?2
2012
B. 3019?2
2013
C. 3018?2
2012
D.无法确定
5.如图,?ABC中,AD为BC边上中线,DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线,试比较BM?CN与MN的大小关系,并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定
6.模长为1的复数A、B、C,满足A?B?C?0,求
AB?BC?CA的模长.
A?B?C A. ?1/2 B. 1 C. 2 D.无法确定
7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数. 解析:所有正整数按取模3可分为三类:3k型、3k?1型、3k?2型.
首先,我们可以证明,所取的数最多只能取到两类.否则,若三类数都有取到,设所取3k型数为3a,3k?1型数为3b?1,3k?2型数为3c?2,
则3a?(3b?1)?(3c?2)?3(a?b?c?1),不可能为素数.所以三类数中,最多能取到两类.
1、2)型的数至其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类3k?r(r?0、3b?r、3c?r, 少取到三个,设其中三个分别为3a?r、则(3a?r)?(3b?r)?(3c?r)?3(a?b?c?r),不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.
结合上述两条,我们知道最多只能取2?2?4个数,才有可能满足题设条件. 另一方面,设所取的四个数为1、7、5、11,即满足题设条件. 综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.
8.已知a1、a、、a3、2?a20,R满足a1?a2?a3??a2013?0,且
a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4?a1?a2?a3??a2013?0.
?a2012?2a2013?a2013?2a1,求证:
解析:根据条件知:
(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)??(a2013?2a1)??(a1?a2?a3??a2013)?0(1)
,
另一方面,令
a1?2a2??、a23、a4a22?a3?a23?a4??a220,?3则a1?m1a1?2、a2a?22、a3中每个数或为?a2am,或为?m.设其中有k个
m,(2013?k)个?m,则: (a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)?由(1)、(2)知:
?(a2013?2a1)?k?m?(2013?k)?(?m)?(2k?2013)m(2)
(2k?2013)m?0 (3)
而2k?2013为奇数,不可能为0,所以m?0.于是知:
a1?2a2,a2?2a3,a3?2a4,,a2012?2a2013,a2013?2a1.
?a2013?0.命题得证.
从而知:a1?22013?a1,即得a1?0.同理可知:a2?a3?
9.对任意的?,求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值. 解析:根据二倍角和三倍角公式知:
632cos6??cos6??6cos4??15cos2?
?32cos6??(2cos23??1)?6(2cos22??1)?15(2cos2??1)
32222????32cos6???2(4cos??3cos?)?1?62(2cos??1)?1?15(2cos??1) ?????32cos6??(32cos6??48cos4??18cos2??1)?(48cos4??48cos2??6)?(30cos2??15)?10.
10.已知有mn个实数,排列成m?n阶数阵,记作aij??mxn,使得数阵中的每一行从左到
2、3、、m,当j1?j2时,都有aij1?aij2.现将aij右都是递增的,即对任意的i?1、??mxn的
2013年北约自主招生数学试题与答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)