2013年北约自主招生数学试题与答案

2013年北约自主招生数学试题与答案

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0

???7a?b?c?d?e?0 ??2a?3b?2c?d?0??4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组：?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3)，有非0有理数解. (4)(5)由（1）+（3）得：11a?b?c?d?0 （6） 由（6）+（2）得：11a?3b?c?0 （7） 由（6）+（4）得：13a?4b?3c?0 （8） 由（7）?（5）得：a?0，代入（7）、（8）得：b?c?0，代入（1）、（2）知：d?e?0.

,,,,e于是知a?b?c?d?e?0，与abcd不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的

有理系数多项式g(x)，其两根分别为2和1?32. 综上所述知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2.在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3.已知x?2y?5,y?2x?5，求x?2xy?y的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

223223

4.数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn,Sn?1?4an?2，求a2013. A. 3019?2

2012

B. 3019?2

2013

C. 3018?2

2012

D.无法确定

5．如图，?ABC中，AD为BC边上中线，DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线，试比较BM?CN与MN的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定

6.模长为1的复数A、B、C，满足A?B?C?0，求

AB?BC?CA的模长.

A?B?C A. ?1/2 B. 1 C. 2 D.无法确定

7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k型、3k?1型、3k?2型.

首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k型数为3a，3k?1型数为3b?1，3k?2型数为3c?2，

则3a?(3b?1)?(3c?2)?3(a?b?c?1)，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.

1、2)型的数至其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3k?r(r?0、3b?r、3c?r， 少取到三个，设其中三个分别为3a?r、则(3a?r)?(3b?r)?(3c?r)?3(a?b?c?r)，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.

结合上述两条，我们知道最多只能取2?2?4个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.

8．已知a1、a、、a3、2?a20，R满足a1?a2?a3??a2013?0，且

a1?2a2?a2?2a3?a3?2a4?a1?a2?a3??a2013?0.

?a2012?2a2013?a2013?2a1，求证：

解析：根据条件知:

(a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)??(a2013?2a1)??(a1?a2?a3??a2013)?0（1）

，

另一方面，令

a1?2a2??、a23、a4a22?a3?a23?a4??a220，?3则a1?m1a1?2、a2a?22、a3中每个数或为?a2am，或为?m.设其中有k个

m，(2013?k)个?m，则： (a1?2a2)?(a2?2a3)?(a3?2a4)?由（1）、（2）知：

?(a2013?2a1)?k?m?(2013?k)?(?m)?(2k?2013)m（2）

(2k?2013)m?0 （3）

而2k?2013为奇数，不可能为0，所以m?0.于是知：

a1?2a2,a2?2a3,a3?2a4,,a2012?2a2013,a2013?2a1.

?a2013?0.命题得证.

从而知：a1?22013?a1，即得a1?0.同理可知：a2?a3?

9．对任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：

632cos6??cos6??6cos4??15cos2?

?32cos6??(2cos23??1)?6(2cos22??1)?15(2cos2??1)

32222????32cos6???2(4cos??3cos?)?1?62(2cos??1)?1?15(2cos??1) ?????32cos6??(32cos6??48cos4??18cos2??1)?(48cos4??48cos2??6)?(30cos2??15)?10.

10．已知有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij??mxn，使得数阵中的每一行从左到

2、3、、m，当j1?j2时，都有aij1?aij2.现将aij右都是递增的，即对任意的i?1、??mxn的