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∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点． ⑵①作图略．
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A； （ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P． 则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，
．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC． ∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝
∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．
16、28. 解⑴①，，，2，，，．
函数的图象如图．②当时，随增大而减小；
当时,随增大而增大；当时函数的最小值
为2．③ =
==
当=0，即时，函数的最小值为2． ⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为
．
17、 (1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA ∴，即
∴
∴点C的坐标是(0，) 由题意，可设
抛物线的函数解析式为
把A(1，0)，B(
，0)的坐标分别代入
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，得
解这个方程组，得
∴抛物线的函数解析式为
解
法
2
：
由
勾
股
定
理
，
得
又∵OB=3，OA=1，
AB=4
∴ ∴点C的坐标是(0，
)由题意可设抛物线的函数解析式
为
，
把C(0，
)代入函数解析式得
所以，抛物线的函数解析式为
(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：
可求得直线
的解析式为，直线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
由此可求得点K的坐标为(
，
)，
点D的坐标为(
，
)，
点E的坐标为(
，
)，点F的坐标为(
，0) ∴KD=
，
DE=
，EF=
∴KD=DE=EF
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得
，
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，由顶点D坐标(，)得 ∴KD=DE=EF=
解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点
，
由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点 ∴点
的坐标为(
，
)，此时△
为等腰三角形
当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线
交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构
成三角形
作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且
，可
知l经过点D， ∴KD=DC
此时，有点
即点D坐标为(
，
)，使△
为等
腰三角形；
综上所述，当点M的坐标分别为(
，)，(，)
时，△MCK为等腰三角形。
解法2：当点M的坐标分别为(
，
)，(
，
)时，△MCK为
等腰三角形。
理由如下： (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(
，
)
又∵点C的坐标为(0，
)，则GC∥AB
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形 ∴
△CGK为正三角形 ∴当
与抛物线交于点G，即
∥AB时，符合题意，此时点
的
坐标为(
，
)
(ii)连接CD，由KD=
，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△
KDC为等腰三角形
(3) (ii) (iii) 优秀教案 欢迎下载
∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)
(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，
满足CM=CK，但点
A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
综上所述，当点M的坐标分别为(
，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。
18、 （1）∵，∴
，
。∴， 又∵抛物线过点
、、，故设抛物线的解析式为
，
将点的坐标代入，求得。
∴抛物线的解析式为
（2）设点的坐标为（
，0），过点
作
轴于点
（如图
（1））。
∵点
的坐标为（，0），点的坐标为（6，0）， ∴，。∵，∴。
∴，
∴，∴。∴
。
∴当时，有最大值4。此时，点
的坐标为（2，0）
（3∵点（4，）在抛物线
上，
∴当时，，
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∴点的坐标是（4，）。
为平行四边形的边时，），∴错误！链接无效。
， 。 ∴
，
② 如图（2），当
∵
（4，。
③ 如图（3），当
为平行四边形的对角线时，设，
则平行四边形的对称中心为（（
，4）。
，0）。 ∴的坐标为
把（，4）代入。 解得 ，
。
。
，得
19、解：(1)∵
由
ABOC旋转得到，
且点A的坐标为(0，3)， 点
的坐标为(3，0)。所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，
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