高中数学竞赛与自主招生专题精品讲义（教师版）
第一部分 对近年来自主招生数学试卷解读
从
2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，
是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约
60% 左右。
2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，
对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。
3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。 4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：
不等式 杂题 解析几何 平面几何 函数 三角函数 立体几何 排列组合 方程和多项式 数列 均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法 常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题） 解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题 平面几何的基本计算和证明、三角形五心问题、图形变换 函数的奇偶性、周期性、单调性的证明与应用 一些具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单的三角不等式问题 复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题 比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题 高次方程，无理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识 非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法 一、 试题特点分析：
突出对思维能力的考查。
【2014年北约】已知xi?0?i?1,2,...n?,
nn?xi?1.求证：?i?1i?1?2?xi???2?1.
?n【解析】不等式；柯西不等式或AM?GM平均不等式.
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义（教师版） 第（1）页
法一：AM?GM不等式.调和平均值Hn?n?1???2?xi?in????n?Gn?n??in2?xi，
?则n?2???2?xi?in?????n?in1?22?xi，?n????i?n1?n?xi?ixi?2?xi??n?2?xi?n?i?n?2?xi ?可得n2n??in2?xi??2????2?xi?in?，???nn??in2?xi??xi????2?xi?i? ???上述两式相加得n?ni2?1n???2????2?xi?i2?xin???n?xi???????i?2?xi??n， ???即
?2?1?n?in?n?2?xi，即
??2?1??i?nn?2?xi
?法二：由?xi?1.及要证的结论分析，由柯西不等式得
i?1???1?2?xi?2???xi????n2?1，
?2nnn11从而可设yi?，且?yi???1.从而本题也即证?xii?1i?1i?1xi2?yi???2?1.
?从而?in??1?2?xi?2???xi????2?1?2n，即?in?2?xin??2?yi???2?1?2n，
假设原式不成立，即?i?1n?2?xi????2n2?1,则?i?1?n?2?yi???2?1.
?n从而?in?2?xi??2?yi???2?1，矛盾.得证.
注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
【2014年北约】10、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根. 【解析】设f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,
则由f?x??g?x?，可得?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e??4?a?d??c?f??0.
2由3f?x??g?x??0可得
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义（教师版） 第（2）页
?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?2?4?3a?d??3c?f??0.
化简得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?34ac?b2又b2?4ac?0.
???e2?4df?0.?g?x?没有实根.
应试和准备策略 注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。 注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。
适当做近几年的自主招生的真题 俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。
竞赛与自主招生专题 第一讲 ：集合与命题（教师版）
知识补充：容斥原理
基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 解：设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人) 二．抽 屉 原 理 抽屉原理的基本形式
定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义（教师版） 第（3）页
两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
例1． 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于.
分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。
以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。
如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么∠PQN=∠C，∠QNP=∠A 因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。
三、针对性训练
1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.
的“交替和”是6-5=1，
的交替和是2。那么，对于
n=7。求所有子集的“交替和”的总和。
解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有
个非空子集合，把这
个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设
这是把
和应为7，共有
结合为一组，显然，每组中，“交替和”之
。
组.所以,所有“交替和”之和应该为
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义（教师版） 第（4）页
2．n元集合具有多少个不同的不交子集对？
分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。
解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是个集合的选取的可能情况应为
种，而这时第一
种，那么k从o变到n，总的情况可能就是
。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集
对不认为不同，则
对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它
个有序对，个无序子
每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为
分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数
，以下同解
法一。
3.以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1?P；④若x，y∈P,则x＋y∈P。试判断实数0和2与集合
P的关系。
解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则kx?P (k?N) 由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x (|y|∈N) 故xy,－yx∈P,由④, 0＝(－yx)+xy∈P。
（2）2?P。若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（2k?1）∈P（k?N）时，－1＝（－2k?1）＋2k∈P，与③矛盾。于是，由②知P中必有正奇数。设
?2m,2n?1?P (m,n?N)，我们取适当正整数q，使 q?|?2m|?2n?1，则负奇数?2qm?(2n?1)?P。前后矛盾。
4.若S1,S2,S3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i,j,k，若x?Si,y?Sj，则
x?y?Sk
证明：三个集合中至少有两个相等。
三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义（教师版） 第（5）页
高中数学竞赛与自主招生专题必修一全套精品讲义(教师版)
