数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质
n?1例题1. 已知数列{an}满足a1?1,an?3?an?1(n?2).
（1）求a2,a3；
3n?1an?2. （2）证明：
2解：（1）a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.
（2）证明：由已知an?an?1?3n?1，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)
?a1?3
n?1?3n?2?3n?13n?1?3?1?an?2， 所以证得2.
例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；
a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.
解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，
又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1
（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5
故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9，
2由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，解得d1?2,d2?10
∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2 ∴
例题3. 已知数列?⑴求数列?Tn?3n?n(n?1)?2?n2?2n2
an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且a1?2a2?22a3?...
?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列.
??an?与?bn?的通项公式；
?⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.
n?12n?12an??a?2a?2a?...?2a?8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式，
可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，Sn?Sn?1?an.
（2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk?ak的取值情况.
2n?1解：（1）已知a1?2a2?2a3?…?2an?8n(n?N*）①
2n?2a?2a?2a??2an?1?8(n?1)(n?N*）② 123时，…n?1①－②得，2an?8，求得an?2，
4?1在①中令n?1，可得得a1?8?2，
4?n所以an?2(n?N*）. 由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn4?n??4?(n?1)?2?2n?6，
?(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）.
bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)??(?4)?(?2)??(bn?bn?1)
24?k（2）bk?ak?k?7k?14?2，
77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1， 当k?4时，
所以k?4时，f(k)?k?7k?14?2又f(1)?f(2)?f(3)?0，
24?k?1，
所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1).
例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得：
2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②
∵ an、bn为正数， 由②得an?1?bnbn?1,an?2?bn?1bn?2， bn?bn?2 ，
92 ，
代入①并同除以bn?1得： 2bn?1?∴ {bn}为等差数列
∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，
2a2?b1b2,则b2?92(n?1)2bn?2?(n?1)(?2)?(n?1),?bn?222 ， ∴
n(n?1)an?bnbn?1?2∴当n≥2时，， n(n?1)an?2又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴
2. 研究前n项和的性质 例题5.
n已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2?b，且a1?3.
（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；
nbn?an，求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设
n?1a?S?S?2?a.而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a， n?2nnn?1解：（1）时，n?1a?3?2a?3a?3又1，得，从而n.又a1?2a?b?3,?b??3.
（2）
bn?nn123?T?(1???n?1an3?2， n3222?n)2n?1
11123Tn?(?2?3?23222?n?1n1111?T?(1???n2n?12n） ，得23222?1n?)2n?12n，
11?(1?n)22?n]?4(1?1?n)Tn?[31?12n32n2n?12.
1例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足
1bk?(lga1?lga2??lgak)*k (k?N)，
（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.
的等差数列，
∴
4?na?10n解：（1）由题意：，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1?lga1?lga2??lgak?3k?k(k?1)1n(n?1)7?nbn?[3n?]?2，∴n22
?bn?021?S?S?672. 由?bn?1?0，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为
（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，
7?n3?2)n??1n2?13nSn??b1?b2??bn?(244 ∴当n?7时，当n?7时，
113?bn)?n2?n?2144
Sn??b1?b2??b7?b8?b9??bn?2S7?(b1?b2?
?1213?n?n(n?7)??44Sn????1n2?13n?21(n?7)?4?4∴.
数列经典例题集锦.
