专题五 立体几何
高考考试说明：
柱、锥、台、球及其简单组合体（A级），柱、锥、台、球的表面积和体积（A级），平面及其基本性质（A级），直线与平面平行、垂直的判定及其性质（B级），两平面平行、垂直的判定及其性质（B级） 一、填空题：
1.（2009.江苏.8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 答案 1：8.
解析 考查类比的方法.体积比为1：8.
2.（2009.江苏.12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. ．．．答案 （1）（2）.
解析 由面面平行的判定定理可知，（1）正确.由线面平行的判定定理可知，（2）正确.对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β.对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α. 解析：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是（1）（2）. ．．．
3.（2012.江苏.7）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为 cm3.
第3题 答案 6.
分析 关键是求出四棱锥A -BB1D1D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝32且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC. 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥A 132-BB1D1D的高且AO＝BD＝.
22
1132
∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝32×2＝62，∴VA -AO＝×62×＝6（cm3）. BB1D1D＝S矩形BB1D1D·332
解析 方法一 ∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中BD=32 cm，BD边上的高是是A?BB1D1D中BB1D1D上的高）.∴四棱锥A?BB1D1D的体积为?32?2?32cm（它也21332=6. 2方法二 （如图所示）连结AC交BD于点O，因为平面ABCD?BB1D1D，又因为AC?BD， 所以AC?平面BB1D1D，所以四棱锥A?BB1D1D的高为AO，根据题意AB?AD?3cm， 所以AO?322，又因为BD?32cm，AA1?2cm，故矩形BB1D1D的面积为62cm， 2132?62??6cm3. 32从而四棱锥A?BB1D1D的体积V?考点 正方形的性质，棱锥的体积.
点评 本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥A?BB1D1D的高为AO，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中. 4.（2013.江苏.8）如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝ .
第4题
答案 1：24.
分析：由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值.
解析 方法一 设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2＝Sh，又D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，11111111
所以S△AED＝S，且三棱锥F－ADE的高为h，故V1＝S△AED·h＝·S·h＝Sh，所以V1∶V2＝1∶24.
423234224方法二 因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC＝1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍.
所以V1：V2＝＝1：24.故答案为1：24.
1?1
AE·sin∠DAE?h?2AD·?3V11
或者：设三棱锥FADE的高为h，则＝＝.
V2124
（2h）（2AD）（2AE）sin∠DAE
2考点 棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题.
点评 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题.
5.（2014.江苏.8）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且
S19V1
＝ ，则 的值是 . S24V2
3答案
2
2S19πr19r13
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得2＝，则＝.由圆柱的侧面积
S24πr24r22
h12V1πr21h13
相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝2＝.
h23V2πr2h22考点 圆柱的侧面积与体积.
探究提高 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线（面），分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用.
6.（2015.江苏.9）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 . 答案
7.
11解析 由体积相等得：?4???52+??22?8=?r2???4???r2?8?r?7.
33考点 圆柱及圆锥体积.
7．（2017.江苏.6）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2V1
的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________.
V2
专题05高考2024 立体几何(教师版)
