第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 ?是一个离散随机变量，试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT???limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1T/2?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?
?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e4 1?j?416?则能量谱密度 G(f)=X(f)=
1?j?1?4?2f222
习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
3 / 21
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
4 / 21
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??????故 EX2?t???cos22?t?sin22?t??2??2
(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x?????z2??。 exp??2??2???2??1(3)
RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??
??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2cos2??t2?t1?
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22A2功率P=R(0)=
22?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函
习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功
通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章Word版
